ВНИМАНИЕ! Студентам, которые готовятся к пересдаче экзамена, обратить особое внимание на "красные" вопросы и 11 вопрос. В процессе подготовки
Господа студенты! До официальных консультаций, я готов провести дополнительные консультации по предмету в режиме on-line по Skype-у. Для этого напишите по адресу "vv-usov@yandex.ru"
Дана система векторов в пространстве
1. Найти ранг и базис линейной оболочки данной системы векторов.
2. Найти координаты вектора
3. Лежит ли вектор в линейной оболочке системы векторов ?
Линейное отображение задано так
Постройте базисы ядра и образа отображения .
Найти общее решение системы уравнений. Выписать решение в векторной форме. Пояснить геометрический смысл решения.
Используя свойство определителя установить правило Крамера для решения системы вида где и .
Если линейное преобразование переводит некоторую линейно независимую систему векторов в линейно зависимую систему векторов, то . Доказать.
Доказать, что система единичных, попарно ортогональных векторов линейно независима.
Пусть системы и дуальны друг другу, то есть:
Пусть - линейное преобразование, а - система собственных векторов преобразования , такая что
, где
Доказать, что система векторов линейно независима.
Если строки (столбцы) квадратной матрицы линейно независимы, то её определитель не равен 0. Доказать.
Доказать, что пересечение подпространств линейного пространства является подпространством.
Доказать, что ортогональное дополнение подпространства L в евклидовом пространстве E является подпространством, причём сумма размерностей
Определим сумму подпространств линейного пространства равенством
Дано линейное отображение , и – линейные пространства. Доказать, что ядро отображения , является линейным подпространством пространства .
Дано линейное отображение , и – линейные пространства. Доказать, что образ отображения , является линейным подпространством пространства .
Задача 3. Доказать, что
Если линейные преобазования перестановочны, , то ядро преобразования является инвариантным подпростанством преобразования . Доказать.
Показать, что пересечение инвариантных подпространств линейного отображения является инвариантным подпространством.
Доказать, что ядро линейного преобразования является инвариантным подпространством преобразования .
Доказать, что образ линейного преобразования является инвариантным подпространством преобразования .
Пусть - базис линейного пространства ,
- собственные векторы линейного оператора
с собственными значениями соответственно. Найти матрицу линейного оператора , использовав матрицу оператора в базисе составленном из собственных векторов.
Если все собственные числа различны, то преобразование в некотором базисе имеет матрицу диагонального вида. Что это за базис?
Доказать, что если преобразования и комплексного линейного пространства L перестановочны, то существует общий собственный вектор преобразований и
Пусть - множество всех линейных отображений пространства L в простанство M . Для , п оложим
Доказать, что множество с так определенными операциями сложения и умножения на числа является линейным пространством.
Какова размерность пространства .
Пусть - пространство многочленов степени не выше чем 2. Если , то .
, Показать, что - линейное пространство. Найти некоторый базис F и определить размерность пространства .
Показать, что координатное отображение является линейным взаимнооднозначным отображением.
Найти координаты многочлена .
. Пусть - пространство многочленов степени не выше чем 3, - его базисы.
Найти координаты многочлена
Пусть - пространство многочленов степени не выше чем 2, , - базисы.
Показать, что оператор сдвига аргумента на число
является линейным. Найти матрицы .
1. Пусть - пространство многочленов степени не выше чем 2, - его базис.
,
является линейным. Найти матрицу оператора в базисе
используя матрицу .
2. Пусть - пространство тригонометрических многочленов вида ,
является линейным.
Доказать, что определитель матрицы - линейного преобразования не зависит от выбора базиса линейного пространства .
Построить матрицу оператора ортогонального проектирования на прямую
в каноническом базисе пространства .
Построить матрицу оператора ортогонального проектирования на линейную оболочку (плоскость)
в каноническом базисе пространства .
Задача 1. Доказать, что отношение (матрица А подобна матрице В) для матриц является отошением эквивалентности, т.е.
Задача 2. Доказать, что характеристические многочлены подобных матриц совпадают, из A
Пусть - базис евклидова пространства.
матрица Грама системы . Найти угол между векторами если
Доказать, что для любой матрицы все главные миноры матрицы неотрицательны.
Пусть - базис евклидова пространства.
матрица Грама системы .
Используя метод Грама-Шмидта, построить ортонормированный базис
задает плоскость . Определить размерность этой плоскости.
Построить ортогональный базис нормального пространства к плоскости .
Пусть - базис евклидова пространства.
матрица Грама системы . Построить базис дуальный базису .
Двумерная плоскость в задана параметрически
Построить систему уравнений, для которой (1) является её общим решением.
В четырехмерном пространстве задан тетраэдр с вершинами
Найти площадь грани тетраэдра.
Найти расстояние от вершины до плоскости треугольника .
В пространстве задана параметрически плоскость
Выписать систему линейных уравнений, определяющую пересечение этих плоскостей (Множество решений этой системы – точки пересечения плоскостей и ).
Указание. Построить системы уравнений, определяющие плоскости и .
Доказать, что определитель Грама и из равенства вытекает, что векторы линейно зависимы. Следствие. Неравенство Коши-Буняковского.
в пространстве .
1. Найти - расстояние от вектора до линейной оболочки .
2. Найти проекцию вектора на линейную оболочку
3. Найти проекцию вектора на ортогональное дополнение линейной оболочки
В пространстве многочленов методом Грамма-Шмидта ортогонализировать систему векторов , если скалярное произведение многочленов задано соотношением
Пусть - матрица размерности , линейное преобразование заданоое умножением матрицы A на вектор столбец, стоящий справа. Доказать, что размерность образа равна столбцовому рангу матрицы.
Пусть - матрица размерности , линейное преобразование заданоое умножением матрицы A на вектор столбец стоящий справа. Доказать, что размерность ядра совпадает со строчным рангом матрицы A.
Доказать, что сумма размерностей ядра и образа линейного отображения равна размерности линейного пространства
Доказать, что строчный ранг матрицы равен столбцовому рангу матрицы.
Пусть линейные преобразования евклидова пространства L .
Доказать, что, если для всех , то .
Пусть -линейные преобразования евклидова пространства L .
Доказать, что, существует линейное пребразование такое, что для всех .
Пусть -линейные преобразования евклидова пространства L .
Доказать, что, если пребразование определяется так, что для всех , то .
Пусть линейное преобразование евклидова пространства. Доказать, что ортогональное дополнением образа преобразования .лежит в ядре преобразования .
Пусть - базис евклидова пространства ,
- матрица Грамма системы ,
- матрица линейного отображения в базисе .
Найти матрицу линейного отображения , обладающего свойством .
Пусть вещественное пространство функций вида
Построить матрицу оператора в базисе , если скалярное произведение функций , задается интегралом
Указание. Используйте матрицу и матрицу Грама .
Пусть линейное преобразование евклидова пространства. Доказать, что размерности образов преобразований и совпадают.
Доказать, что собственные векторы самосопряженного преобразования евклидова пространства принадлежащие различным собственным значениям ортогональны.
Доказать, что собственные числа самосопряженного преобразования евклидова пространства вещественные.
Доказать, что ортогональное дополнение инвариантного подпростанства самосопряженного оператора, является его инвариантным подпространством.
Пусть линейное отображение, определенное равенством
- симмерическая матрица ( ).
1. Построить ортонормированный базис пространства , составленный из собственных векторов отображения .
2. Найти матрицу .
3. Найти матрицы , где канонический базис ,
Доказать, что определитель ортогональной матрицы равен .
Доказать, что линейное преобразование евклидова пространства, переводящее некоторый ортонормированный базис в ортонормированный базис, является ортогональным преобразованием.
Если симметричная матрица, а - ортогональная матрица , то - симметричная матрица. Доказать.
Доказать, что произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей;
Доказать, что линейное преобразование евклидова пространства, переводящее некоторый ортонормированный базис в ортонормированный базис, является ортогональным преобразованием.
Операционным методом задача коши
Вычертить область заданную неравенствами