В этой статье мы разберем деление целых чисел с остатком. Начнем с общего принципа деления целых чисел с остатком, сформулируем и докажем теорему о делимости целых чисел с остатком, проследим связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Дальше озвучим правила, по которым проводится деление целых чисел с остатком, и рассмотрим применение этих правил при решении примеров. После этого научимся выполнять проверку результата деления целых чисел с остатком.

Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел.

Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.

Мы будем говорить о делении с остатком произвольного целого числа a на целое число b , которое отлично от нуля. Для b=0 деление с остатком не определяют, также как не определяют деление целого числа на нуль без остатка.

По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b ( b не равно нулю) являются два целых числа c и d . Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b , а целое число c называется неполным частным (или просто частным, если остаток равен нулю).

Условимся считать, что остаток есть целое неотрицательное число, и его величина не превосходит модуля числа b , то есть, (подобные цепочки неравенств мы встречали, когда говорили о сравнении трех и большего количества целых чисел).

Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b , то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d) .

Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.

Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории деление нуля на целое число), и остаток также будет равен нулю.

С терминологией и обозначениями определились, теперь разберемся со смыслом деления целых чисел с остатком.

Так как целые положительные числа являются натуральными числами, то смысл деления с остатком целых положительных чисел должен полностью совпадать со смыслом деления натуральных чисел с остатком.

Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг. Представим такую ситуацию. Долг, который составляет предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1) .

Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.

Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a , делитель b , неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d . Для целых чисел a , b , c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком.

Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r , где q и r – некоторые целые числа, причем .

Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q , что a=b·q . В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0 .

Теперь будем считать, что b – целое положительное число. Выберем целое число q таким образом, чтобы произведение b·q не превышало числа a , а произведение b·(q+1) было уже больше, чем a . То есть, возьмем q таким, чтобы выполнялись неравенства b·q<a<b·(q+1) . После вычитания из всех частей этого неравенства произведения b·q приходим к неравенствам вида 0<a−b·q<b . Так как значение выражения a−b·q положительно и не превышает b ( b – положительное число), то это значение можно принять в качестве r , то есть, r=a−b·q . Откуда получаем нужное представление числа a вида a=b·q+r .

Осталось доказать возможность представления a=b·q+r для отрицательных b .

Так как модуль числа b в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q₁ – некоторое целое число, а r – целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q₁ , получаем нужное нам представление a=b·q+r для отрицательных b .

Предположим, что помимо представления a=b·q+r , q и r – целые числа и , существует еще одно представление a=b·q₁+r₁ , где q₁ и r₁ – некоторые целые числа, причем q₁≠q и .

После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q₁)+r−r₁ , которое равносильно равенству r−r₁=b·(q₁−q) . Тогда должно быть справедливо и равенство вида , а в силу свойств модуля числа - и равенство .

Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q и q₁ – целые и q≠q₁ , то , откуда заключаем, что . Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a , кроме a=b·q+r .

Равенство a=b·c+d позволяет находить неизвестное делимое a , если известны делитель b , неполное частное c и остаток d . Рассмотрим пример.

Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21 получилось неполное частное 5 и остаток 12 ?

Нам требуется вычислить делимое a , когда известен делитель b=−21 , неполное частное c=5 и остаток d=12 . Обратившись к равенству a=b·c+d , получаем a=(−21)·5+12 . Соблюдая порядок выполнения действий, сначала проводим умножение целых чисел −21 и 5 по правилу умножения целых чисел с разными знаками, после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками: (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c , c=(a−d):b и d=a−b·c . Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a на целое число b , когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c . Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.

Найдите остаток от деления целого числа −19 на целое число 3 , если известно, что неполное частное равно −7 .

Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел, так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел.

С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком, этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел.

Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком:

Неполное частное получилось равным 271 , а остаток равен 37 .

Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число.

Неполное частное от деления целого положительного числа a на целое отрицательное число b представляет собой число, противоположное неполному частному от деления модуля числа a на модуль числа b , а остаток от деления a на b равен остатку от деления на .

Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом.

Переделаем озвученное правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное:

• Находим модули делимого и делителя.
• Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если при этом остаток получился равным нулю, то исходные числа делятся без остатка, и по правилу деления целых чисел с противоположными знаками искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
• Записываем число, противоположное полученному неполному частному, и остаток. Эти числа являются соответственно искомым частным и остатком от деления исходного целого положительного числа на целое отрицательное.

Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Выполните деление с остатком целого положительного числа 17 на целое отрицательное число −5 .

Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Разделив 17 на 5 , получаем неполное частное 3 и остаток 2 .

Число, противоположное числу 3 , - это −3 . Таким образом, искомое неполное частное от деления 17 на −5 равно −3 , а остаток равен 2 .