Пусть M(x1;y1) и N(x2;y2) – середины боковых сторон AB и CD. Найдем координаты этих точек по формулам координат середины отрезка:

x1 = = -2,5 ; y1 = = -0,5

x2 = = 5; y2 = =4

Прямая MN содержит среднюю линию трапеции. Зная координаты точек M и N, находим уравнение прямой MN таким же образом, как это делалось в задаче 5. Искомое уравнение имеет вид

Напишите уравнения прямых, проходящих через точку M(2;5) и параллельных осям координат.

Решение. Уравнение прямой, проходящей через точку M(2;5) и параллельной оси ординат, имеет вид x = 2, а уравнение прямой проходящей через ту же точку и параллельной оси абсцисс, имеет вид y = 5.

Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

Решение. Возможны два случая: а) диагональ, равна 10 см, лежит на оси абсцисс (рис. 1, а); б) диагональ, равная 10 см, лежит на оси ординат (рис.1, б). Координаты вершин ромба в каждом из этих случаев представлены на рисунке 1,а и 1,б.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через ту или иную сторону ромба, нужно найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки ( см. задачу 5)

Найдите медиану АМ треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(0;1), В(1;-4), С(5;2).

Решение. Сначала находим координаты x и у середины М отрезка ВС:

=3; у =-1.

Медиану АМ вычисляем по формуле расстояния между двумя точками:

= .

а) расстояние между двумя точками А(2;3) и В(х;1) равно 2;

б) расстояние между точками (-1;х) и (2х;3) равно 7.

а) =2 (по условию). Возводя в квадрат, получаем: +4=4, т. е. =0, откуда х=2;

б) = =7. Возводя в квадрат и приводя подобные члены, получаем квадратное уравнение 5 -2х-39=0. Решая его, находим: =3, =-2,6.

Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а)А(0;1), В(1;-4), С(5;2); б) А(-4;1), В(-2;4), С(0;1).

а) = , ВС= = , АС= = . Так как АВ=АС, то треугольник АВС – равнобедренный, а так как , то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВС – прямоугольный и стороны АВ и АС – его катеты. Следовательно,

= AB*AC= * =13.

б) АВ= = , ВС= = , АС= =4.

Так как АВ=ВС, то треугольник АВС – равнобедренный. Его медиана ВМ является также высотой, поэтому из прямоугольного треугольника АВМ находим: ВМ= = =3.

= AС*ВМ=

На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек: а) А(1;2) и

Решение. Ордината искомой точки М равна нулю, а абсциссу точки М обозначим буквой х.

а) По условию АМ=ВМ, или , т. е.

, откуда находим: х=-2,5.

б) По условию СМ=DМ, или , т. е.

, откуда находим: х=8, и поэтому точка М имеет координаты (8;0).

Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) М(1;1), N(6;1), P(7;4), Q(2;4); б) M(-5;1),

а) Найдем координаты векторов <5;0>, <5;0>. Так как координаты векторов соответственно равны, то = . Отсюда следует, что противоположные стороны MN и PQ четырехугольника MNPQ равны и паралельны, поэтому этот четырехугольник – параллелограмм.

Диагонали MP и NQ находим по формуле расстояния между двумя точками:

б) <1;3>, <1;3>. Отсюда, как и в п. а), следует, что четырехугольник MNPQ- параллелограмм.

NQ = =2 .

Ответ. а) NQ = 5; б) , NQ = 2 .

Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство , если известно, что:

а) векторы и противоположно направлены и =0,5 см, =2 см;

б) векторы и сонаправлены и =12 см, =24 дм; в) векторы и противоположно направлены и =400 мм, =4 дм; г) векторы и сонаправлены и = см, = см.

Решение. Пусть ≠ . Тогда если ↑↑ , то при , а если ↑↓ , то при . Исходя из этого, получаем:

а) = =-4;

б) = =20; в) =- =- 1; г) = =5.

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М - середина отрезка АО. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) ; б) ; в) ; г) ; г) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) .

а) Так как и (рис.1),

То , т. е. k=2. Аналогично получаем

б) , т. е. k= ;

в) , т. е. k=- ;

е) , т. е. k=- ;

з) , т. е. k=- ;

и) так как векторы и не коллинеарны, то не существует такого числа k, для которого

к) так как векторы и не коллинеарны, то не существует такого k, для которого .

Докажите, что если векторы и не коллинеарны, то:

а) векторы и не коллинеарны;

б) векторы и не коллинеарны; в) векторы и не коллинеарны.

а) Так как векторы и не коллинеарны, то ≠ . Допустим, что векторы и коллинеарны. Тогда, согласно лемме о коллинеарных векторах, существует такое число k, что =k( ). Отсюда получаем:

(1-k) =(1+k) . При любом k хотя бы одно из чисел (1- k) и (1+ k) не равно нулю. Пусть, например, 1+ k≠0. Тогда умножив на число , получим = . Отсюда следует, что векторы и коллинеарны, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение не верно и, значит, векторы и не коллинеарны.

Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма АВСD, причем

АМ: МС=4:1. Разложите вектор по векторам = и = .

Решение. Так как АМ: МС=4:1, то АМ= АС (рис.2). , то . Но (по правилу параллелограмма), поэтому , т. е. .

Векторы и не коллинеарные. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: а) ; б) ; в) ; г)

Решение: а) Коэффициенты разложения данного вектора по двум данным неколлинеарным векторам и определяются единственным образом, поэтому из равенства следует, что у=3,х=-1;

Аналогично получаем: в) х=0, у=3; г) х=-1, у= .

Запишите и разложите по координатным векторам и вектора: а) ; б) ; в) ; г) ; д)

Решение: а) ; б) ; в) ; г) ; д)

Окружность задана уравнением (х + 5)2 + (у - 1)2 = 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А(-2; 4), В(-5; -3), С(-7; -2) и D(1; 5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

Решение. Найдем расстояния от данных точек до центра данной окружности, имеющего координаты (-5; 1):

Радиус r данной окружности равен 4. Сравнивая расстояния от данных точек до центра окружности с ее радиусом, получаем:

dA > r, dB = r, dC r, dD r.

Отсюда следует, что: а)точка С лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью; б)точка В лежит на окружности; в)точки А и D лежат вне круга, ограниченного данной окружностью.

Даны окружность х2 + у2 = 25 и две точки А(3; 4) и В(4; -3). Докажите, что АВ – хорда данной окружности.

Решение. Координаты точек А и В удовлетворяют уравнению данной окружности, поэтому точки А и В лежат на этой окружности и, следовательно, отрезок АВ – хорда данной окружности.

Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r1 = 3, r2 = , r3 = .

Решение. 1) х2 + у2 = 9; 2) х2 + у2 = 2; 3)х2 + у2 = .

Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А,

если: а)А(0; 5), r = 3; б) А(-1; 2), r = 2; в) А(-3; -7), r = ; г) А(4; -3), r = 10. Решение. А) х2 + (у - 5)2 = 9; б) (х + 1)2 + (у – 2)2 = 4; в) (х + 3)2 + (у + 7)2 = ; г) (х - 4)2 + (у + 3)2 = 100.

Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Решение. Пусть в треугольникеABC AC = BC, AB = 80 см, медиана CO равна 160 см. Введем прямоугольную систему координат Oxyтак, как показано на рисунке 1. Тогда вершины A, B, C имеют следующие координаты: A( - 40;0), B(40;0), C(0;160).

Обозначим середины сторон AC и BC буквами M и N и найдем их координаты по формулам координат середины отрезка: M(-20;80), N(20;80). После этого медианы AN и BM находим по формуле расстояния между двумя точками:

Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.

Решение. Пусть в треугольникеABC высота BO равна 10 см и точка О делит основание AC на отрезки AO= 4 см и OC= 10 см. Введем прямоугольную систему координатOxy так, как показано на рисунке 2. Тогда вершины A, B, C имеют следующие координаты: A(-4;0), B(0;10), C(10;0). Отсюда следует, что

Пусть точка М – середина стороны АВ. Ее координаты равны (-2;5). Зная координаты точек С и М, находим искомую медиану СМ: