Задача 25. Для многочленов и подобрать такие многочлены и , чтобы , если алгоритм Евклида для и состоит из трех строк.

Выделим из второй строки: . Найдем из первой строки и подставим его в указанное выражение : , . Заметим, что в этом выражении все слагаемые подразделяются на два типа: те, которые имеют общий множитель , и те, которые имеют общий множитель . Сгруппируем эти слагаемые: . Тогда , .

Если многочлены и над представлены в каноническом виде, т. е. , где – различные нормированные неприводимые над многочлены, – неотрицательные целые числа, , , где , – неотрицательные целые числа, то

общий наибольший делитель многочленов и над полем .

Введем в разложения и все фигурирующие основания:

Пусть многочлен задан над числовым полем и его каноническое разложение имеет вид:

Многочлены – различные неприводимые нормированные, являются делителями многочлена кратностей соответственно. Тогда производная имеет многочлены кратностей соответственно и

Заметим может быть равным 0. Это будет в случае, если .

Таким образом, неприводимые множители многочлена – это кратные неприводимые множители многочлена .

Существенно то, что многочлен может быть найден без разложения на неприводимые множители, а при помощи алгоритма Евклида. Для определения же всех кратных неприводимых множителей многочлена достаточно разложить на неприводимые множители многочлен , степень которого меньше степени .

Процедура отыскания кратных неприводимых множителей многочлена с помощью называется выделением кратных неприводимых множителей многочлена .

Иными словами, многочлен имеет те же неприводимые множители, что и , но все однократные.

Нахождение называется освобождением многочлена от кратных неприводимых множителей.

Отсюда следует, что кратными неприводимыми множителями многочлена являются многочлены (кратности 2) и (кратности 3).

Разделив на получим .

Так как корни многочлена соответствуют его неприводимым множителям первой степени, то корни многочлена – это кратные корни многочлена . Поэтому выделение кратных неприводимых множителей является в то же время выделением кратных корней многочлена .

Заметим, что – кратные корни многочлена тогда, когда , , т. е. при и . Итак, при многочлен имеет двукратный корень , при – двукратный корень .

Многочлен с рациональными коэффициентами имеет те же корни, что и многочлен с целыми коэффициентами, полученного умножением на наименьшее общее кратное всех знаменателей коэффициентов многочлена .

Рациональные корни многочлена , , , находятся в множестве рациональных дробей вида , где – делители числа , – делители числа . Если , то все рациональные корни многочлена будут целыми и находится среди делителей .

Составим дроби вида : . (Значения берем только положительные, т. к. если – отрицательное, то будет повторение значений ).

Применяя схему Горнера, проверим, какие из дробей являются корнями многочлена . Ими будут числа и .

Составим дроби вида : . (Значения берем только положительные, т. к. если – отрицательное, то будет повторение значений ).

Применяя схему Горнера, проверим, какие из дробей являются корнями многочлена . Ими будут числа и .

Для нахождения рациональных корней многочлена (для организации более экономичного перебора) с целыми коэффициентами используется следующая теорема: Если несократимая дробь является корнем многочлена , , то число и число .

Так в предыдущем примере , .

вещественными или комплексными коэффициентами, надо разделить обе части этого уравнения на , в результате чего получается уравнение вида:

имеющего те же корни, что и уравнение (1), а затем сделать замену . Ее проще всего осуществить, разложив многочлен по степеням с помощью схемы Горнера и заменив затем через . В результате получается уравнение вида:

называемой формулой Кардано. Применяя эту формулу нужно для каждого из трех значений корня брать те значения корня , для которого выполняется условие .

Если – корни уравнения (3), то , , – корни уравнения (1).

Получаем: . Полагая , имеем . Здесь , . Корни полученного уравнения находим по формуле

Значениями корня являются числа , , . Соответствующие им значения второго корня: , , . Отсюда , , . Тогда корни исходного уравнения: , , .

Корни уравнения (3) можно также находить по формулам:

Корни заданного уравнения: , , .

Вещественными или комплексными коэффициентами, надо разделить обе части на (что не меняет корней уравнения) и затем в уравнении

сделать замену (используя схему Горнера). В результате получается уравнение

Если – корни уравнения (3), то ( )– корни уравнения (1).

Берется один из ее корней и составляется два квадратичных уравнения:

II. Способ Эйлера. Составляем кубическую резольвенту (4) и находим ее корни .

где знаки выбираем так, чтобы выполнялось равенство .

Если уравнение (3) биквадратное ( ), то его корни находятся по формуле:

Метод Штурма определения числа вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами состоит из выполнения нескольких шагов.

В итоге получаем последовательность многочленов . Набор ненулевых многочленов и называется рядом Штурма многочлена . Метод Штурма применим не для каждого многочлена , а только для того, у которого , т. е. для многочлена , который взаимнопрост с , т. е. для многочлена , не имеющего кратных корней.

Внутри таблицы расставляем знаки «+» или «–» значений или .

Заметим, если , то знак предела зависит от и знака старшего коэффициента:

если – четная и – положительный, то знак «+»,

если – четная и – отрицательный, то знак «–»,

если – нечетная и – положительный, то знак «–»,

если – нечетная и – отрицательный, то знак «+».

Если , то знак предела зависит только от знака :

Если мы имеем последовательность знаков в строке таблицы, например, , то переход от одного знака к противоположному при чтении строки слева направо называется знакопеременной. В нашем примере две знако перемены: . Подсчитываем число знакоперемен в строке « » и в строке « » . Тогда число вещественных корней многочлена равно .

Число вещественных корней рассматриваемого многочлена равно

Мы можем узнать, сколько корней отрицательных, сколько положительных. Для этого находим число знакоперемен в ряде Штурма в точке 0:

Тогда отрицательные корни находятся на участке и их число равно , а положительные числа находятся на участке и их число равно .

Многочлен с числовыми коэффициентами (вещественными или комплексными), степень которого не больше , вполне определяется своими значениями при любых различных значениях неизвестного, число которых больше .

Всегда существует многочлен не более чем -ой степени, принимающий наперед заданные значения при заданных значениях неизвестного.

Если – различные между собой числа, – числа, не все равные нулю, то существует единственный многочлен

степени не выше со свойствами: , . Этот многочлен можно найти одним из следующих трех способов:

степени не выше со свойствами: , . Этот многочлен можно найти одним из следующих трех способов:

Определитель этой системы отличен от нуля, т. е. система имеет только одно решение ( ) и искомый многочлен

Формулой Лагранжа удобно пользоваться, если нужно определить не коэффициент многочлена степени не выше со свойствами , , а его значение в точке .

где исходя из условия , находим исходя из условия и при учете найденного , и т. д., находим исходя из условия и при учете найденных .

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется выражение вида , где и – многочлены над некоторым полем , причем . Над дробно-рациональными функциями можно производить операции сложения, умножения, умножения на многочлен , деления, аналогично операциям, производимым в .

Рациональная дробь называется несократимой, если

Всякая рациональная дробь равна несократимой дроби, получившейся из нее путем деления числителя и знаменателя на .

Рациональная дробь называется правильной, если в ней истинная степень числителя меньше истинной степени знаменателя

Если истинная степень числителя некоторой рациональной дроби не меньше истинной степени знаменателя, то эту дробь можно представить в виде суммы некоторого многочлена и некоторой правильной дроби. Это можно сделать, применив к и теорему о делении с остатком.

Разделим на по теореме о делении с остатком. Получим: . Отсюда

Правильная рациональная дробь называется простейшей, если является натуральной степенью некоторого многочлена , неприводимого над полем , а истинная степень многочлена меньше истинной степени многочлена .

Если , то простейшие дроби – это дроби вида и вида , где – многочлен с вещественными коэффициентами, не имеющий вещественных корней, , .

Чтобы получить разложение правильной дроби на простейшие над данным полем ( или ), нужно представить многочлен в каноническом виде: , где – различные неприводимые нормированные многочлены, . Затем надо написать

где – многочлен степени меньшей, чем степень , взятый с неопределенными коэффициентами. Затем нужно все дроби правой части равенства (1) привести к общему знаменателю и приравнять сумму получившихся при этом числителей многочлену . Применяя метод неопределенных коэффициентов найдем коэффициенты многочленов .

Решение. . Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители левой части и получившийся после приведения к общему знаменателю правой части:

Приводим левую и правую части равенства к общему знаменателю и приравниваем получившиеся после этого числители.

Отсюда получаем систему линейных уравнений с неизвестными , , , , .

которую решим методом Гаусса: , , , , .

После приведения обеих частей равенства к общему знаменателю получаем:

Нод многочленов калькулятор онлайн
Предел графика функции