то функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ именуют линейно независимыми на множестве $T$. По сути, условие (3) равносильно такому: все коэффициенты $\alpha_i$ равны нулю.

Для двух функций несложно вывести простое правило: если $\forall x\in T$ $\frac\neq const$ на некотором интервале $T=(a;b)$, то функции $y_1(x)$ и $y_2 (x)$ линейно независимы на $T$. Если же $\forall x\in T$ $\frac= const$ на $T$, то функции $y_1(x)$ и $y_2 (x)$ линейно зависимы на $T$.

Допустим, что $\frac\neq const$ на $T$, однако функции $y_1(x)$ и $y_2 (x)$ линейно зависимы. Если функции линейно зависимы, то существуют такие константы $\alpha_1$ и $\alpha_2$, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство: $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2=0$. Пусть, к примеру, $\alpha_1\neq 0$. Тогда, с учетом $y_2 (x)\neq 0$ на $T$, получим: $\frac=-\frac<\alpha_2><\alpha_1>=const$, что противоречит допущению $\frac\neq const$.

Если же $\frac= const$, то $y_1(x)-C\cdot y_2(x)=0$ на $T$, т.е. $\alpha_1=1;\;\alpha_2=-C$. При этом $\alpha_<1>^<2>+\alpha_<2>^<2>=1+C^2\neq 0$, т.е. функции $y_1(x)$ и $y_2 (x)$ линейно зависимы на $T$.

Все примеры, указанные в этой теме, будут опираться на определения и свойство, приведенные выше. Естественно, что в общем случае применение таких определений несколько затруднительно. Существует несколько критериев, которые позволяют упростить процесс проверки функций на линейную зависимость. На сайте рассмотрены два таких способа: с помощью определителя Вронского и определителя Грама.

Выяснить, являются ли функции $y_1(x)=x^2+2x-4;\; y_2(x)=-4x^2+7x-1;\;y_3(x)=-5x^2+20x-14$ линейно зависимыми или линейно независимыми на множестве $R$.

Рассмотрим линейную комбинацию этих функций: $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3$. Если $\forall x\in R$ равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ выполняется только при $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$, то рассматриваемые функции линейно независимы. Если же $\forall x\in R$ равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ возможно при условии, что хотя бы один из коэффициентов $\alpha_i$ не равен нулю, то функции линейно зависимы.

Подставим в выражение $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ заданные функции:

$$ \alpha_1\cdot x^2+2\alpha_1\cdot x-4\alpha_1-4\alpha_2\cdot x^2+7\alpha_2\cdot x-\alpha_2-5\alpha_3\cdot x^2+20\alpha_3\cdot x-14\alpha_3=0; $$ $$(\alpha_1-4\alpha_2-5\alpha_3)\cdot x^2+(2\alpha_1+7\alpha_2+20\alpha_3)\cdot x+(-4\alpha_1-\alpha_2-14\alpha_3)=0.$$

Последнее равенство возможно лишь в том случае, когда коэффициенты при степенях переменной $x$ одновременно равны нулю, т.е.:

$$ \left\ <\begin\alpha_1-4\alpha_2-5\alpha_3=0; \\ 2\alpha_1+7\alpha_2+20\alpha_3=0;\\ -4\alpha_1-\alpha_2-14\alpha_3=0. \end \right.$$

Мы получили однородную систему линейных уравнений. Нам нет необходимости в её решении, нужно лишь установить количество решений. Если решение лишь одно – нулевое (или, в иной терминологии, тривиальное), т.е. $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$, то функции линейно независимы. Если же есть иные решения, кроме нулевого, то функции линейно зависимы. Найдем ранг матрицы системы $A= \left( \begin 1 & -4& -5\\ 2 & 7& 20 \\ -4& -1& -14 \end \right)$ и ранг расширенной матрицы системы: $\tilde= \left( \begin 1 & -4& -5& 0\\ 2 & 7& 20 & 0 \\ -4& -1& -14 & 0 \end \right)$, а затем применим теорему Кронекера-Капелли.

Отсюда получаем решение: $\left\< \begin&\alpha_1=-3\alpha_3;\\&\alpha_2=-2\alpha_3;\\&\alpha_3=\alpha_3;\;\alpha_3 \in R \end \right.$ Например, подставив $\alpha_3=-1$, получим: $\alpha_1=3;\; \alpha_2=2$. Несложно убедиться непосредственной проверкой, что равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ при найденных коэффициентах будет выполнено $\forall x\in R$:

$$ 3\cdot y_1+2\cdot y_2-y_3=3\cdot(x^2+2x-4)+2\cdot(-4x^2+7x-1)-(-5x^2+20x-14)=0. $$

Итак, существуют такие константы $\alpha_1;\;\alpha_2;\;\alpha_3$ (например, $\alpha_1=3;\;\alpha_2=2;\;\alpha_3=-1$), не все одновременно равные нулю, что на $R$ выполняется тождество $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3\equiv 0$. Следовательно, рассматриваемые функции линейно зависимы.

Исследовать на линейную зависимость такие функции: $y_1(x)=x\ln(x+4);\;y_2(x)=\ln^2(x+4)$.

Исследование проведем в интервале $T=(-4;+\infty)$, который представляет собой область определения заданных функций. Применим правило для определения линейной зависимости двух функций, указанное в начале страницы. Так как при $x\in(-4;+\infty)$ имеем: $\frac=\frac<\ln(x+4)>\neq const$, то данные функции линейно независимы на $T=(-4;+\infty)$.

Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=1; \; y_2(x)=x;\; y_3(x)=x^2; \; y_4(x)=x^3; \; y_5(x)=x^4$.

Область определения этих функций есть вся числовая прямая, т.е. $x \in R$. Рассмотрим равенство:

$$(4)\,\,\,\,\alpha_1\cdot 1+\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot x^2+\alpha_4\cdot x^3+\alpha_5\cdot x^4=0$$

Если равенство (4) для всех $x\in R$ возможно лишь при условии $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$, то заданные функции линейно независимы. Если же равенство (4) $\forall x\in R$ выполняется на наборе констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$, $\alpha_5$, среди которых хотя бы одна отлична от нуля, то заданные функции линейно зависимы. Итак, нужно исследовать равенство (4).

В левой части равенства (4) расположен многочлен, порядок (или, в иной терминологии, степень) которого не превышает $4$. Например, если $\alpha_1=2; \;\alpha_2=0;\;\alpha_3=0;\;\alpha_4=7;\;\alpha_5=0$, то получим многочлен третьего порядка: $\alpha_1\cdot 1+\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot x^2+\alpha_4\cdot x^3+\alpha_5\cdot x^4=7x^3+2$. Т.е. в левой части равенства (4) может быть многочлен четвертого, третьего, второго, первого и нулевого порядков.

Рассмотрим случай, когда в левой части равенства (4) расположен многочлен, порядок которого не равен нулю (среди констант $\alpha_2;\;\alpha_3;\;\alpha_4;\;\alpha_5$ хотя бы одна не равна нулю). Любой многочлен первого порядка может обратиться в ноль только в одной точке (т.е. существует только одно значение $x$, при котором многочлен первого порядка равен нулю). Многочлен второго порядка равен нулю не более, чем в двух точках; многочлен третьего порядка – не более, чем в трёх точках; многочлен четвертого порядка обращается в ноль не более, чем в четырёх точках. Т.е. если среди констант $\alpha_2;\;\alpha_3;\;\alpha_4;\;\alpha_5$ есть хотя бы одна, отличная от нуля, то равенство (4) может быть выполнено не более, чем при четырёх значениях $x$ (а не для всех $x\in R$).

Рассмотрим ситуацию, когда среди констант $\alpha_2;\;\alpha_3;\;\alpha_4;\;\alpha_5$ нет ни одной, отличной от нуля, т.е. $\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$. В этом случае в левой части равенства (4) получим многочлен нулевого порядка $\alpha_1\cdot 1+\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot x^2+\alpha_4\cdot x^3+\alpha_5\cdot x^4=\alpha_1$. А само равенсто (4) станет таким: $\alpha_1=0$. Следовательно, для многочлена нулевого порядка выполнение равенства (4) возможно лишь при $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$.

Подведём итоги: если в правой части равенства (4) стоит многочлен ненулевого порядка, то равенство (4) не может быть выполнено при всех $x\in R$. Равенство (4) может быть выполнено для всех $x\in R$ только когда в правой части стоит многочлен нулевого порядка, однако это означает $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$. Так как равенство (4) выполняется для всех $x\in R$ только при условии $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$, то заданные функции линейно независимы на $R$.

Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=4;\; y_2(x)=\arcsin x; \; y_3(x)=\arccos x$ на отрезке $[-1;1]$.

$$\arcsin x+\arccos x=\frac<\pi><8>\cdot4; \; \arcsin x+\arccos x-\frac<\pi><8>\cdot4=0; \; 1\cdot y_1+1\cdot y_2+\left(-\frac<\pi><8>\right)\cdot y_3=0$$

Итак, существует такой набор констант $\alpha_1; \; \alpha_2;\; \alpha_3$ (например, $\alpha_1=1;\; \alpha_2=1;\; \alpha_3=-\frac<\pi><8>$), среди которых есть хотя бы одна константа, отличная от нуля, что равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ будет выполнено для всех $x\in[-1;1]$. Это означает, что функции $y_1(x)=4;\; y_2(x)=\arcsin x;\; y_3(x)=\arccos x$ линейно зависимы на отрезке $[-1;1]$.

Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=x;\; y_2(x)=|x|$ в их области определения.

Областью определения заданных функций есть все множество действительных чисел, т.е. $x\in R$. Функции будут линейно зависимыми, если существует такой набор констант $\alpha_1$ и $\alpha_2$, что для всех значений $x\in R$ выполнено равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2=0$ (т.е. $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$), причем хотя бы один из коэффициентов ($\alpha_1$ или $\alpha_2$) не равен нулю. Если же выполнение равенства $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2=0$ при $\forall x\in R$ возможно лишь при $\alpha_1=\alpha_2=0$, то заданные функции будут линейно независимыми. Рассмотрим равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ подробнее.

Если $x≥ 0$, то $|x|=x$, поэтому равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ станет таким: $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot x=0$, $x\cdot(\alpha_1+\alpha_2)=0$. Равенство $x\cdot(\alpha_1+\alpha_2)=0$ должно быть выполнено при всех $x≥ 0$, поэтому $\alpha_1+\alpha_2=0$.

Если же $x < 0$, то $|x|=-x$, поэтому равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ станет таким: $\alpha_1\cdot x-\alpha_2\cdot x=0$, $x\cdot(\alpha_1-\alpha_2)=0$. Равенство $x\cdot(\alpha_1-\alpha_2)=0$ должно быть выполнено при всех значениях $x < 0$, поэтому $\alpha_1-\alpha_2=0$.

Итак, чтобы равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ было верным для всех $x\in R$, требуется выполнение двух условий:

Полученная система имеет лишь тривиальное (нулевое) решение: $\alpha_1=\alpha_2=0$. Итак, выполнение равенства $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ при $\forall x\in R$ возможно лишь в случае $\alpha_1=\alpha_2=0$, поэтому функции линейно независимы на R.

Исследование на линейную зависимость с помощью определителей Вронского и Грама указаны в дальнейших темах сайта.