Линейная алгебра задачи с решениями

В этом разделе вы сможете посмотреть примеры решения задач по теме Линейная алгебра и аналитическая геометрия Это задачи на матрицы, определители, системы уравнений, решаемые матричным методом, методом Гаусса, с помощью обратной матрицы, задачи на прямые и плоскости в пространстве, вектора и пр.

Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель : а) разложив его по элементам строки; б) разложив его по элементам столбца; в) получив предварительно нули в строке.

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её с помощью обратной матрицы (матричным методом).

Даны три последовательные вершины параллелограмма: . Не находя координаты вершины D, найти:

уравнение стороны AD;
уравнение высоты BK, опущенной из вершины B на сторону AD;
длину высоты BK;
уравнение диагонали BD;
тангенс угла между диагоналями параллелограмма.

Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

Даны точки . Найти:

общее уравнение плоскости ABC;
общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости ABC;
канонические уравнения прямой AD
канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AD;
косинус угла между прямой AD и прямой ;
синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.

Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую.

Кривая задана в полярной системе координат уравнением . Требуется:

Найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный начиная от до ;
построить полученные точки;
построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала);
составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат.

Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенством:

Даны две вершины A(-6;-5) и B(2;4) параллелограмма ABCD и точка M(3;1) пересечения его диагоналей. Найти координаты вершин C и D, уравнения сторон параллелограмма.

Через точку пересечения прямых x-2y-5=0 и 2x-3y-8=0 провести прямую, параллельную прямой 3x-2y+2=0.

Даны координаты вершин треугольника . Определить вид треугольника и найти внутренние углы треугольника.

На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки A(2;3;4) и от плоскости, проходящей через точку B(1;5;0) параллельно плоскости 2x+3y+z+15=0.

Найти угол между плоскостью, проходящей через точки и плоскостью .

Нормаль к плоскости составляет с координатными осями равные острые углы. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние от начала координат до неё равно 4 единицы. Определить, при каком значении плоскость будет перпендикулярна плоскости .

На осях координат отложены от начала координат отрезки, соответственно равные 1, 2 и 3 единицы; концы отрезков соединены прямыми. Найти точку пересечения и угол между плоскостью полученного треугольника и прямой, проходящей через точки A(0;4;-2), B(3;-1;2).

Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно двум прямым и .