Учебно – справочное пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

для студентов всех специальностей заочной формы обучения

Учебно – справочное пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» для студентов всех специальностей заочной формы обучения

Автор: старший преподаватель кафедры высшей математики НГТИ

Пособие содержит 10 задач контрольной работы по теме «Интегралы и их применение» и справочник по данной теме.

Пособие обсуждено на заседании кафедры высшей математики НГТИ и рекомендовано к использованию в учебном процессе студентами всех специальностей заочной формы обучения.

Зав. кафедрой к.ф.м.н. ___________________ А.П. Золотарёв

Данное пособие является сборником заданий второй контрольной работы (по теме «Интегралы и их применение») во втором семестре изучения курса «Высшая математика». Задания составлены для студентов заочной формы обучения, но могут выдаваться студентам и дневной и вечерней форм обучения. Первая контрольная работа в данном семестре выполняется по теме «Пределы, непрерывность и дифференцирование функции одной переменной».

Каждый студент при решении данной контрольной работы должен выполнить десять задач, которые заключаются в нахождении неопределенных, вычислении определенных интегралов либо в их применении. В соответствии с порядковым номером студента в списке группы в очередном задании выполняется соответствующий номер и решение всех задач оформляется в соответствии со стандартом НГТИ оформления текстовой документации.

Для удобства освоения данной темы пособие содержит справочник с таблицей интегралов и основными методами интегрирования. Более подробное изложение таких методов интегрирования можно изучить в литературе, список которой приведён в конце пособия.

Задача №1 Найти неопределенный интеграл, выполнив необходимые замены

Задача №2 Вычислить определенный интеграл, выполнив необходимые замены

Задача №3 Найти неопределенный интеграл, выполнив интегрирование по частям

Задача №4 Вычислить определенный интеграл, выполнив интегрирование по частям

Задача №5 Найти неопределенный интеграл, разложив функцию на сумму элементарных дробей

Задача №6 Найти определенный интеграл от тригонометрических функций

Задача №7 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в декартовой системе координат

Задача №8 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в декартовой системе координат

Задача №9 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в полярной системе координат

Задача №10 Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиком функции. В вариантах 1 – 16 ось вращения ОХ, а в вариантах 17 – 32 ось вращения ОY.

Функция F(x) является первообразной для f(x) если ;

Если то ;

Определённый интеграл ;

Замена переменной а);

б) ;

Интегрирование по частям

а) неправильная дробь,

б) ,

,

Примеры разложений правильной дроби (дробно-рациональной функции) на сумму элементарных дробей

число коэффициентов каждый раз равно порядку многочлена в исходном знаменателе;

1) ;

2) ;

3) ;

5) Интеграл вида принаходится по формуле

Пусть -рациональное выражение от.

а) находится с помощью универсальной подстановки

б) или при чётности подынтегральной функции относительно синуса и косинуса находится с помощью подстановки

в)

в.1) – любоезамена;

в.2) – любоезамена;

в.3) -нечётное положительное,– любоезамена

-нечётное положительное, – любоезамена

в.5) – чётные положительные числа, тогда каждую степень

г) При интегрировании произведения тригонометрических функций используются формулы

а) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, прямыми слева,справа, и графиком функциипри условии;

Если , то;

б) Площадь между графиком и осью ОY

в) Если фигура ограничена в декартовых координатах графиком функции снизу, графикомсверху, вертикальными прямымислева исправа, то;

Площадь между параметрически заданной линией

при и осями декартовой системы координат:

г.1) С осью ОХ ;

г.2) С осью ОY ;

Линия является эллипсом с полуосями 4 и 3.

;

Циклоида (заданная параметрически)

Линии в полярных координатах

-угол поворота от полярной оси (оси ОХ) против часовой стрелки, -расстояние до полюса (начала координат).

Если фигура ограничена исходящими из полюса лучами ,

и линией , то площадь такого криволинейного сектора ;

Если фигура ограничена исходящими из полюса лучами ,

и линиями ближе к полюсу,дальше от полюса, то площадь такой фигуры ;

а) Если для любой проекции тела на ось ОХ известна площадь поперечного сечениятакого тела,

то его объём тела ;

б) Если в плоскости ХОY задана линия и приона вращается вокруг оси ОХ, то объём тела вращения

Если в плоскости ХОY задана линия и приона вращается вокруг оси ОY, то объём тела вращения

2) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление

Высшая математика в примерах и задачах (в двух частях).

5) Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов.

Шипачев В.С. Высшая математика: Учебное пособие для ВУЗов.

Онлайн базисный минор матрицы