Курсы профессиональной переподготовки от Московского учебного центра "Профессионал"

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки (184 курса на выбор).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 10 класс ГОУ средняя школа Фрунзенского района г.Санкт-Петербурга № 212 Учитель информатики Селезнева Р.С.

Математическая логика представляет собой математический аппарат, изучающий различные способы логический рассуждений. Основным объектом изучения являются простые высказывания. Высказыванием называется повествовательное предложение, которое является (или может являться) либо истинным, либо ложным. Каждое высказывание может принимать одно из двух возможных значений, которыми являются «Истина» или «Ложь». Вопросительное или повелительное предложение не является высказыванием. Пример: высказывание «монитор - устройство вывода информации» является истинным. Теоретическую основу математической логики составляет булева алгебра, называемая в честь английского математика Дж. Буля. Отличие от обычной алгебры заключается в том, что логические аргументы (переменные) могут принимать лишь два значения «истина»(TRUE) и «ложь»(FALSE), иногда их называют «ДА» и «НЕТ», а чаще обозначают 0 и 1.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ Операция «отрицание»(«инверсия») соответствует частице «не». Для обозначения отрицания используется знак ¬ или ¯ . Используем для обозначения высказываний буквы латинского алфавита. Например, обозначим высказывание «на улице светит солнце» буквой «p». Тогда запись ¬p представляет «не верно, что на улице светит солнце». Итак, если p – истинно (равно1), то ¬p - ложно (равняется 0). Действие отрицание можно представить в виде таблице истинности. Операция «дизъюнкция». Это логическое сложение соответствует слову «или». Дизъюнкция обозначается ν. В таблице ниже перечислены различные значения двух переменных и результат дизъюнкции. p ¬p 0 1 1 1 p q pνq 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Дизъюнкция ложна (равна 0) тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны (равны 0). В других ситуациях результат дизъюнкции двух переменных приводит к единицею Операция «конъюнкция». Для обозначения используется символ Λ или &. Конъюнкция истинна (равна 1) тогда и только тогда когда оба высказывания истинны (равны 1). Операция «импликация» (следование), которая обозначается →. Посредством этой операции устанавливаются причинно-следственные связи: «p требует выполнения q», или «p имплицирует q», или «из p следует q», или «если p, то q». Пример, p – высказывание «на улице светит солнце», а q – высказывание «очень жарко», то p → q означает «если на улице светит солнце, то очень жарко». p q pΛq 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Таблица истинности для импликации Операция – «эквивалентность» (равнозначность). Обозначается ↔ Эквивалентность истинна в двух случаях: Если p истинно и q истинно Если p ложно и q ложно p q p→q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 P q p↔q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Операция «исключающее или» Обозначается знаком Свойства логических операций: ¬( ¬а Λ а) экививалентно 1 (никакое высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным) аν¬а эквивалентно1 (это закон исключительного третьего – каждое высказывание или истинно, или ложно) (а →b)=(¬b→¬ а) – закон контрапозиции ¬¬а=a – закон двойного отрицания (двойное отрицание а эквивалентно а) (а ν b)=(b ν а) – коммутативность дизъюнкции (aΛb)=(bΛa) – коммутативность конъюнкции aν(bνc)=(aνb)νc – ассоциативность дизъюнкции aΛ(bΛc)=(aΛb)Λc – ассоциативность конъюнкции Законы де Моргана ¬(aνb)=(¬aΛ¬b) Законы дистрибутивности p q pq 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

¬(aΛb)=(¬aν¬b) Законы дистрибутивности aΛ(bνc)=(aΛb)ν(aΛc) aν(bΛc)=(aνb)Λ(aνc) Примеры заданий: Пример 1. Дан фрагмент таблицы истинности функции F Какое из перечисленный выражений соответствуетF? 1.A→¬Aν¬B 3.¬A→B 2.AνB 4.¬AΛ¬B Решение: Необходимо последовательно составить таблицы истинности для всех возможных вариантов выражений. А B F 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Таким образом, результат (значение в последней колонке) соответствует функции F, приведенной в первой таблице. Правильный ответ расположен под номером 1. Пример 2. Укажите, для какого слова истинно следующее логическое выражение: (Первая буква гласная ν Пятая буква согласная) →Вторая буква гласная Варианты ответов арбуз 3. кресло ответ 4. привет Решение: Данное выражение представляет собой импликацию. Так как первая часть (вторая буква гласная) ложна для всех представленных вариантов, то для того чтобы выражение было истинным, необходима ложность левой части. Для этого и первая буква не должна быть гласной и пятая буква не должна быть согласной. Это выполняется только для четвертого варианта. Ответ – 4. A B ¬A ¬B Z=¬Aν¬B A→Z 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

Пример 3. Укажите, какое логическое выражение равносильно следующему выражению: Аν¬(¬ВΛ¬С) Варианты: 1. ¬Аν¬Вν¬С 3. АΛ¬(ВΛС) Аν¬Вν¬С 4.АνВνС Решение: Используя закон де Моргана, запишем: Аν¬(¬ВΛ¬С)=Аν(¬¬Вν¬¬С) Далее используем закон двойного отрицания: Аν(¬¬Вν¬¬С)=АνВνС Таким образом, верный вариант располагается под номером 4.

Название документа методическая аннотация к уроку.docx

Презентация состоит из 9 слайдов и содержит следующие разделы:

Логические операции (инверсия, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквивалентность).

организовать учебный процесс учащихся по изучению понятий: математическая логика, логические операции (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность), обозначения и таблиц истинности логических операций, обозначения высказываний;

способствовать формированию умений переводить высказывания на язык алгебры логики, определять истинность (ложность) высказываний;

создать условия для развития мышления, внимания, памяти, коммуникативных навыков, умение приводить примеры логических операций.

Форма урока: урок изучения нового материала с помощью презентации.

Необходимые технические средства: На компьютере должна быть установлена операционная система Windows , приложение Power Point . В компьютерном классе должен быть установлен мультимедийный проектор для более наглядной демонстрации презентации.

Слайд 1, 2. Контрольный вопрос: Что изучает математическая логика?

Слайд 3. Пример отрицания: Высказывание «Земля вращается вокруг Солнца» истинно.

Высказывание «Земля не вращается вокруг Солнца» ложно. Попросить учащихся привести свои примеры. Привести примеры дизъюнкции: Рассмотрим высказывание: «Знания или везение – залог сдачи экзаменов» Успешно сдать экзамен может тот, кто все знает, или тот, кому повезло (например, вытянул выученный билет), или тот, кто все знает и при этом выбрал «счастливый» билет. Попросить учащихся привести свои примеры.

Слайд 4. Пример конъюнкции: Рассмотрим высказывание «Умение и настойчивость приводит к достижению цели». Достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок – умения и настойчивости. Попросить учащихся привести свои примеры. Пример импликации: Рассмотрим высказывание «Если идет дождь, то на улице сыро». Здесь исходные высказывания «Идет дождь» и «На улице сыро». Если не идет дождь и не сыро на улице, результат операции следования – истина. На улице может быть сыро и без дождя (когда прошла поливочная машина) или прошел дождь накануне. Результат операции ложен только тогда, когда идет дождь, а на улице не сыро. Попросить учащихся привести свои примеры.

Слайд 5,6. Пример операции эквивалентности: День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом. Попросить учащихся привести свои примеры.

Домашнее задание. Выучить определения, обозначения и таблицы истинности логических операций.

С.М. Кашаев, Л.В. Шерстнева «Самостоятельная подготовка к ЕГЭ по информатике»

Чтобы скачать материал, введите свой E-mail, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку

Нажимая кнопку, Вы соглашаетесь получать от нас E-mail-рассылку

Если скачивание материала не началось, нажмите еще раз "Скачать материал".

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности

1. организовать учебный процесс учащихся по изучению понятий: математическая логика, логические операции (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность), обозначения и таблиц истинности логических операций, обозначения высказываний;
2. способствовать формированию умений переводить высказывания на язык алгебры логики, определять истинность (ложность) высказываний;
3. создать условия для развития мышления, внимания, памяти, коммуникативных навыков, умение приводить примеры логических операций.
4. способствовать развитию познавательного интереса

Форма урока: урок изучения нового материала с помощью презентации.

Необходимые технические средства: На компьютере должна быть установлена операционная система Windows, приложение Power Point. В компьютерном классе должен быть установлен мультимедийный проектор для более наглядной демонстрации презентации.

Слайд 1, 2. Контрольный вопрос: Что изучает математическая логика?

Слайд 3. Пример отрицания: Высказывание «Земля вращается вокруг Солнца» истинно.

Высказывание «Земля не вращается вокруг Солнца» ложно. Попросить учащихся привести свои примеры. Привести примеры дизъюнкции: Рассмотрим высказывание: «Знания или везение – залог сдачи экзаменов» Успешно сдать экзамен может тот, кто все знает, или тот, кому повезло (например, вытянул выученный билет), или тот, кто все знает и при этом выбрал «счастливый» билет. Попросить учащихся привести свои примеры.

Слайд 4. Пример конъюнкции: Рассмотрим высказывание «Умение и настойчивость приводит к достижению цели». Достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок – умения и настойчивости. Попросить учащихся привести свои примеры. Пример импликации: Рассмотрим высказывание «Если идет дождь, то на улице сыро». Здесь исходные высказывания «Идет дождь» и «На улице сыро». Если не идет дождь и не сыро на улице, результат операции следования – истина. На улице может быть сыро и без дождя (когда прошла поливочная машина) или прошел дождь накануне. Результат операции ложен только тогда, когда идет дождь, а на улице не сыро. Попросить учащихся привести свои примеры.

Слайд 5,6. Пример операции эквивалентности: День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом. Попросить учащихся привести свои примеры.

Домашнее задание. Выучить определения, обозначения и таблицы истинности логических операций.

1. Н.В. Макарова «Информатика и ИКТ»
2. С.М. Кашаев, Л.В. Шерстнева «Самостоятельная подготовка к ЕГЭ по информатике»

Демонстрационный материал к уроку по «Математическая логика» (9 слайдов)