Опр.19.1.1 . Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y, записанную в форме z = x + iy, где i - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем i 2 = -1.

Первая компонента комплексного числа z, действительное число x, называется действительной частью числа z, это обозначается так: x = Rez; вторая компонента, действительное число y, называется мнимой частью числа z: y = Imz.

Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

Геометрически комплексное число z = x + iy изображается как точка с координатами (x, y) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С .

Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.

Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чисел Z имеет свойства, аналогичные аксиомам I.1- I .4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел ):

Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.

Опр.19.1.5. Число называется числом, сопряжённым к числу z = x + iy. Часто сопряжённое число обозначается также символом z * .

Опр.19.1.6. Действительное число называется модулем комплексного числа z = x + iy.

Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z ; модуль разности чисел z₁ и z₂ равен расстоянию между этими точками: .

Найдём произведение сопряжённых чисел: (x·(-y) + y·x)i = x 2 + y 2 = |z| 2 . Таким образом, - всегда неотрицательное действительное число, причём .

Для нахождения частного комплексных чисел домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: .

II .4. Для каждого числа z∈Z существует такое число z -1 ∈Z, что z·z -1 = 1, ;

Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:

Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть z₁ = 2 - 3i, z₂ = 4 + 5i. Тогда z₁ + z₂ = (2 − 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (-3 + 5)i = 6 + 2i; z₁·z₂ = (2 − 3i)·(4 + 5i) = (2·4 + (-3)·5 i 2 ) + (2·5 +(-3)·4)i = 23 − 2i; .

Запись комплексного числа в виде z = |arg z|(cosφ + isinφ) называется тригонометрической формой числа.

Число 0 = 0 + 0i - единственное число, модуль которого равен нулю; аргумент для этого числа не определён.

Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: x = |z| cosφ, y = |z| sinφ. Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:

При решении задач на перевод алгебраически заданного комплексного числа в тригонометрическую форму следует изобразить это число на комплексной плоскости С и, таким образом, контролировать полученный результат. Примеры: записать в тригонометрической форме числа , z₂ = −1 −i, , z₄ = −i, z₅ = −5 −3i, . Решение: z₁ = 2(cos(2π/3) + isin(2π/3)), , z₃ = 2(cos(−π/6) + isin(−π/6)), z₄ = cos(−π/2) + isin(−π/2), .

Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются.

Рассмотрим деление комплексных чисел. Очевидно, если z₂ ≠ 0, z₂ = |z₂|(cos φ₂ + isin φ₂) , то сопряженное число равно z₂ * = |z₂|(cos φ₂ - isin φ₂) = |z₂|(cos (-φ₂) + isin (-φ₂)) , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому . Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

19.1.3. Показательная форма комплексного числа. Ряд Маклорена для функции сходится к функции при любом действительном х. Формально запишем это разложение для x = iφ : . Степени числа i: i 2 = -1, i 3 = i 2 ·i = -i, i 4 = i 2 ·i 2 = 1, i 5 = i 4 ·i = i, i 6 = i 2 = -1, далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо: i -1 = -i, i -2 = -1, i -3 = i, i -4 = 1, и т.д.). Поэтому . В круглых скобках стоят ряды для cos φ и sin φ, которые сходятся для любого действительного φ; поэтому получаем e iφ = cos φ + i sin φ . Эта формула называется формулой Эйлера. Теперь любое комплексное число z можно представить как z = |z|·e i Arg z = |z|·e i arg z = |z|·e i·φ ; эта форма записи называется показательной. В этой форме умножение и деление комплексных чисел выполняются и интерпретируются также легко, как и в тригонометрической:

Индукцией по показателю степени n легко доказывается формула Муавра: если z = |z|(cos φ + i sin φ), то z n = |z| n (cos n φ + i sin n φ), или, в показательной форме, z n = |z| n ·e inφ . С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов кратных углов:

; в качестве второго примера выведем формулы для cos 5φ и sin 5φ : если z = cos φ + isin φ , то, по формуле бинома Ньютона, z 5 = (cos φ + isin φ) 5 = C₅ 0 cos 5 φ + C₅ 1 cos 4 φ·isinφ + C₅ 2 cos 3 φ·i 2 sin 2 φ + C₅ 3 cos 2 φ·i 3 sin 3 φ + C₅ 1 cosφ·i 4 sin 4 φ + C₅ 5 ·i 5 sin 5 φ =

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня n-ой степени из комплексного числа z. По определению, любое число w, такое, что w n = z, называется корнем n-ой степени из числа z. Пусть z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z) , w = |w|(cos arg w + i sin arg w) . Тогда w n = |w| n (cos n arg w + i sin n arg w) = |z|(cos Arg z + i sin Arg z). Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому |w | n = |z|, n arg w = Arg z, откуда , , при этом n различных значения корня n-ой степени из числа z получаются при k = 0, 1, 2, . n−1.

Пример: найти все значения . Число в тригонометрической форме равно z = 2(cos(- π /3) + i sin(- π /3)) . Все пять значений корня даются формулой при k = 0, 1, 2, 3, 4. Они расположены на окружности радиуса . Значение, соответствующее k = 0, имеет аргумент ( - π / 3):5 = - π /15, остальные расположены с интервалом по φ, равным 2 π /5, в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

19.1.4. Сфера Римана. Бесконечно удалённая точка. Риман предложил применять для геометрического представления комплексной плоскости сферу. Вместе с координатами х , у в плоскости C рассмотрим трёхмерную прямоугольную систему координат ξ, η, ζ, такую, что оси ξ, η совпадают с осями х , у, а ось ζ им перпендикулярна. Поместим в это пространство сферу единичного диаметра ξ 2 + η 2 + ζ 2 = 1, касающуюся плоскости х , у в начале координат своим южным полюсом. Каждой точке z(x, y) = x + iy ∈ C поставим в соответствие точку P(ξ, η, ζ ) сферы, получающуюся при пересечении луча, проведённого через точку z и северный полюс N сферы, со сферой. Очевидно, соответствие z ↔ P взаимно однозначно отображает плоскость С на сферу с единственной исключённой точкой - северным полюсом N . Такое соответствие z ↔ P называется стереографической проекцией .

Пополним комплексную плоскость С новым объектом - бесконечно удалённой точкой z = ∞, которую будем считать прообразом северного полюса N при стереографической проекции. Такую пополненную плоскость будем называть замкнутой комплексной плоскостью и обозначать . Если не прибегать к стереографической проекции, то несобственная точка z = ∞ рассматривается как единственная предельная точка любой последовательности <z_n> комплексных чисел таких, что |z_n| → ∞ при n → ∞, независимо от того, по какому пути точки последовательности удаляются от начала координат.

Так как равен расстоянию между точками z и z₀ , то

3. |z − z₀| > R - открытая область, состоящая из точек, находящихся вне круга радиуса R с центром в z₀ ; круг не включен в эту область.

4. |z − z₁| + |z − z₂| = 2a - эллипс, построенный на точках z₁ и z₂ , рассматриваемых как фокусы (большая полуось равна 2а, малая - ) (рис. 1.). Области, лежащие внутри и вне эллипса, описываются соответствующими неравенствами.

Пример построения области на комплексной плоскости, заданной системой неравенств:

Определим, какая область даётся неравенством :

,

поэтому - замкнутый круг радиуса 3 с центром в точке z₀ = 3 + 3i. Неравенство даёт область, находящуюся справа от правой ветвью гиперболы с полюсами , включающую эту ветвь. Параметры гиперболы: . Последнее неравенство определяет полуплоскость y > 1. В результате получаем заштрихованную область, изображённую на рисунке справа.

19.1.6. Окрестности точек плоскости . Под ε - окрестностью точки z₀ ∈ C понимается открытый круг радиуса ε с центром в точке z₀: U(z₀, ε) = <z| |z − z₀| < ε>. Проколотая окрестность точки z₀ - любая ее окрестность, из которой исключена сама точка z₀: . ε - окрестность несобственной точки z₀ = ∞ - это внешность круга радиуса ε с центром в начале координат (включающая саму точку z₀ = ∞): . Проколотая ε - окрестность точки ∞ - множество .