Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.

Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.

Комплексным числом z называется выражение вида z = x + iy , где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i 2 = –1.

Если х = 0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x + i 0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. R  С.

Число х – действительная часть комплексного числа z и обозначается х= R е z , а у – мнимой частью z , у= Im z .

Два комплексных числа z ₁ = x ₁ + iy ₁ z ₂ = x ₂ + iy ₂ называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

В

сякое комплексное число можно изобразить точкой М(х,у) плоскости Оху такой, что х= R е z , у= Im z . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора = . Длина вектора называется модулем этого числа и обозначается или r .

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число – аргумент этого числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа z =0 не определён. Аргумент комплексного числа z 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого ( k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z = а rg z + , где а rg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке , т.е.  а rg z  (иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка ).

Запись числа в виде называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент можно рассматривать как полярные координаты вектора = , изображающего комплексное число . Тогда получаем , . Следовательно, комплексное число можно записать в виде или . Такая запись называется тригонометрической формой.

Модуль однозначно определяется по формуле . Например, . Аргумент определяется из формул

, ,

Так как , то , .

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z , т.е. считать .

Так как  а rg z  , то из формулы получаем, что

Используя формулу Эйлера , комплексное число можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме , где – модуль комплексного числа, а угол .

В силу формулы Эйлера функция – периодическая с основным периодом 2  . Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать .

Пример 1: Записать комплексные числа z ₁ = –1+ i и z ₂ = –1 в тригонометрической и показательной формах.

, т.е. .

Поэтому

Для z ₂ имеем т.е. .

Поэтому .

С уммой двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ у z₁+ z ₂

н азывается комплексное число, определяемое z ₂

р авенством . z ₁

ложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами. Из определения следует, что комплексные числа складываются как векторы. Из рисунка видно, что . Это соответствие называют неравенством треугольника.

Разностью двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z , которое будучи сложенным с z ₂, даёт число z ₁, т.е. z = z ₁ – z ₂, если .

.

Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что .

Отметим, что , т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство определяет на комплексной плоскости множество точек z , находящихся на расстоянии 1 от точки , т.е. окружность с центром в и радиусом 1.

Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов x ₁ + iy ₁ и x ₂ + iy ₂, учитывая, что i 2 = –1.

Заметим, что – действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности

– формула Муавра.

Пример 2: Найти

Решение: Запишем сначала число в тригонометрической форме:

;

Частным двух комплексных чисел z ₁ и z ₂≠0 называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z ₂, даёт число z ₁, т.е. , если .

Если положить , , , то из равенства следует

.

На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.

Пример 3: Выполнить деление

Решение:

Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид: ,

т.е. .

Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству .

Если положить , а , то по определению корня и формуле Муавра, получаем

.

Отсюда имеем

Т.е. (арифметический корень).

Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:

,

Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример 4: Найти все значения .

Решение: Запишем комплексное число в тригонометрической форме.

.

.

Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием ?

Р

ешение: Комплексное число изображается вектором, началом которого является точка , а концом ‒ точка z . Угол между этим вектором и осью ОХ есть , и он меняется в пределах от до .

С

ледовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки и образующими с осью ОХ углы в и рад.

Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме

Пусть и , тогда:

Произведение ;

Частное ;

Возведение в n – ю степень ;

Извлечение корня n – й степени , .

Рассмотрим разложение функции по формуле Маклорена.

Если действительную переменную х заменить комплексной переменной z , то получим ряд по степеням z :

(1)

Аналогично определяются тригонометрические функции и комплексной переменной z :

(2)

(3)

Подставим в (1) вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.

Сравнивая полученный результат с формулами (2) и (3), получаем

и

Таким образом, с помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между тригонометрическими и показательной функциями:

; .

Используя понятие комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:

; .

; .

Приведенные известные из элементарной математики формулы:

, ;

; ,

справедливы и для комплексных значений аргументов и .

Функция вида , где п – натуральное число, – постоянные коэффициенты, называется многочленом п-ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).

Корнем многочлена называется такое значение х₀ (вообще говоря комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема: Если х₁ есть корень многочлена , то многочлен делится без остатка на х–х₁, т.е. , где – многочлен степени (п–1).

Теорема: (основная теорема алгебры) Всякий многочлен п-ой степени ( n >0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Теорема: Всякий многочлен можно представить в виде

,

где – корни многочлена, – коэффициент многочлена при х п .

Множители называются линейными множителями.

Пример 1: Разложить многочлен на множители.

Решение: Многочлен обращается в нуль при Следовательно .

Пример 2: Представить выражение в виде произведения линейных множителей.

Решение: Легко проверить, что является корнем данного многочлена.

=

Уравнение имеет два комплексных корня и .

Следовательно, .

Если в разложении многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k . Тогда разложение многочлена можно записать в виде: , где ‒ кратности соответственно корней .

Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет сопряжённый корень .

,

получили трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами

= , где

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема: Всякий многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

где ,

х₁, х₂, … , х _r – корни многочлена, а все квадратные трехчлены не имеют действительных корней.

Пример: этот многочлен имеет корни: х₁= ‒2 и х₂=3, других действительных корней нет. Тогда .

Инженерная графика вариант 13