Кемеровский технологический институт пищевой промышленности

Печатается по решению Редакционно - издательского совета

Кемеровского технологического института пищевой промышленности

сельскохозяйственного института доцент В.М. Радченко;

доцент кафедры коммерции Кемеровского института Московского государственного университета коммерции Е.И. Харлампенков.

Начертательная геометрия: конспект лекций по курсу НГиИГ

Конспект лекций предназначен для студентов механических специальностей заочной формы обучения.

Пособие освещает практически все основные вопросы курса начертательной геометрии. В нем последовательно рассматриваются разделы «Точка», «Линия», «Поверхность», решение позиционных и метрических задач.

Все, что создано на земле человеческими руками - здания и сооружения, машины и механизмы, предметы быта сначала родились в мыслях одного человека или группы людей. В строительстве сооружений, производстве машин, предметов быта участвуют коллективы людей. Следовательно, существует необходимость в передачи информации от одного человека к другому. Средством для передачи такой информации является изображение.

Первые изображения при строительстве зданий и сооружений выполнялись прямо на земле в натуральную величину. Дальнейшая деятельность человека привела к появлению таких требований и правил изображениям, чтобы по ним можно было судить о форме, размерах, взаимном расположении элементов предмета. Рисунки становились чертежами.

Уже в древние времена применялись чертежи, на что указывает сложная архитектура крепостей, храмов, дворцов древнего Вавилона, Египта, Греции.

Интенсивно развивалась графика и в России. До настоящего времени дошли планы русских городов Москвы, Пскова, Тихвинского монастыря. По указу Петра! составлен Семеном Ремезовым атлас «Чертежная книга городов и земель Сибири».

Большой толчок в развитии способов изображений вызвала развитие техники и изобретательства. Например, в 1763 году И.И. Ползунов изготовил чертежи изобретенной им паровой машины, сохранились чертежи механика - самоучки И.П, Кулибина.

Одновременно с развитием графических изображений появилась и развивалась наука, определяющая правила и теорию этого процесса. Первые труды в этом направлении появились в III - V веках до н.э. Это работы Гиппократа, Пифагора, Платона, Демокрита, а позже Евклида, Архимеда. Дальнейшее развитие это направление получило в трудах Л. Альбертин (1404- 1462), Леонардо да Винчи (1452- 1519), А. Дюрера (1471- 1528), Р. Декарта (1596- 1658), И.Ламберти (1728- 1777) и другие.

В конце XVIII в. французский ученый Гаспар Монж обобщил ранее накопленный опыт проекционной грамоты и создал стройную научную дисциплину о прямоугольных проекциях. В 1798 г, он издал свой труд «Начертательная геометрия», в котором впервые систематизировал и обобщил теоретические и практические изыскания в области изображения пространственных объектов на плоскости, Он впервые дал методы выполнения чертежа. В это время начертательная геометрия уже широко изучалась при подготовке инженерных кадров.

В нашей стране курс начертательной геометрии был впервые введен в петербургском институте корпуса инженеров путей сообщения в 1810 г. Первым его прочитал ученик Гаспара Мошка -К. Потье, В 1818 г. лекции по начертательной геометрии в этом институте читал профессор Я.А. Севастьянов, который в 1821 г. издал свой курс под названием «Основания начертательной геометрии». Это был первый в России оригинальный курс, сыгравший важную роль в основании этой дисциплины в нашей стране.

Дальнейшее развитие начертательной геометрии связано с именами М.И, Макарова (1824 - 1904), В.И. Курдюмова (1853 -1904), Е.С. Федорова (1853 - 1919) и других ученых.

Начертательная геометрия в настоящее время это не только теоретическая основа для построения чертежа, Методы начертательной геометрии используются при конструировании сложных поверхностей технических форм, применяемых в авиационной, автомобильной промышленности, в судостроении. Методы начертательной геометрии находят широкое применение в физике, химии, механике, кристаллографии и др. науках.

Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проекций геометрических фигур. Сущность метода центрального проецирования: пусть даны плоскость  и точка S, не принадлежащая плоскости . Возьмем произвольную точку А, не принадлежащую плоскости . Через заданную точку S и точку А проведем [SA) и отметим точку А  , в которой этот луч пересекает плоскость  (рис.1.1.).

оложение плоскости  и центра S определяет аппарат центрального проецирования.

Так как через две различные точки можно провести одну и только одну прямую, то можно сделать вывод, что при заданном аппарате проецирования каждая точка пространства будет иметь одну и только одну центральную проекцию. Обратное утверждение не имеет смысла.

Для того, чтобы одноз-начно определить положение точки в пространстве, по ее центральным проекциям, необ-ходимо иметь две центральные проекции этой точки, получен-ные из двух различных центров S₁ и S₂ (рис.1.2.), можно определить положение точки А в пространстве. Для этого дос-таточно провести проеци-рующие лучи [S₁A  ₁) и [S₂A  ₂) и найти точку их пересечения.

Параллельное проецирование - частный случай центрального проецирования. При параллельном проецировании центр проекции удален в бесконечность. В этом случае проецирующие лучи станут параллельны друг другу (рис.1.3.).

олученные таким методом проекции называются параллельными. Аппарат параллельного проецирования определяется положением плоскости  и направлением проецирования S. Отмеченное ранее свойство центрального проецирования сохраняется и в данном случае. Формулируется оно следующим образом: каждая точка пространства, при заданном аппарате проецирования, будет иметь одну и только одну параллельную проекцию. Обратное утверждение не имеет смысла.

Геометрические фигуры, в общем случае, проецируются на плоскость проекции с искажением. В частности, при параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (происходит искажение линейных и угловых величин). Но некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Такие свойства называют инвариантными.

1.3.3. Если в пространстве точка принадлежит линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии.

1.3.4. Проекции взаимно параллельных прямых также взаимно параллельны, а отношение отрезков таких прямых равно отношению их параллельных проекций.

1.3.5. Точка пересечения проекций пересекающихся прямых является точкой пересечения этих прямых.

1.3.6. Плоская фигура, параллельная плоскости проекции, проецируется на эту плоскость в конгруэнтную фигуру.

1.3.7. Плоский многоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин.

1.3.8. Параллельный перенос оригинала или плоскости проекции не изменяет вида и размеров проекции оригинала.

Параллельное проецирование называется прямоугольным (ортогональным), если направление проецирования S перпендикулярно к плоскости проекции, т.е. если проецирующие лучи составляют с плоскостью проекции прямой угол (рис.1.4.).

ппарат ортогонального проецирования определяется, в сущности, только положением плоскости проекции (направление проецирующих лучей заведомо известно). Так как ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, свойства указанные ранее (п. 1.3.) сохраняются. Кроме отмеченных свойств, для ортогонального проецирования справедлива теорема: для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально без искажения, необходимо и достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекции, а вторая - не перпендикулярна к этой плоскости (Рис.1.5.).

При ортогональном проецировании (как и при центральном и параллельном) однозначно решается задача по определению проекции фигуры по оригиналу. Для решения обратной задачи, т.е. воспроизведение оригинала по его проекции, необходимо иметь, по крайней мере, две ортогональные проекции оригинала.

1.5. Пространственная модель координатных плоскостей

Для определения положения геометрического объекта в пространстве необходимо задаться какой-либо координатной системой отнесения. Наиболее удобной является система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей.

ассмотрим макет из трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис.1.6.), которые делят пространство на 8 частей, называемых октантами:

Линии пересечения плоскостей проекций образуют оси координат. Ось х называют осью абсцисс, ось у - осью ординат и ось z -осью аппликат. Точка пересечения координатных осей принимается за начало координат.

Положительным направлением осей координат считают для оси х - влево от начала координат, для оси у - в сторону наблюдателя от начала координат, для оси z - вверх от начала координат. Противоположные направления осей считаются отрицательными.

1.6. Плоскостная модель координатных плоскостей (эпюр)

Пространственной моделью координатных плоскостей пользоваться на чертеже неудобно, поэтому ее преобразуют в эпюр, т.е. чертеж, составленный из двух или более связанных между собой проекций геометрической фигуры. Для этого горизонтальную и профильную плоскость проекции совмещают с фронтальной плоскостью проекции путем поворота плоскости Н на 90° вокруг оси х по часовой стрелке и плоскости W на 90° вокруг оси z против часовой стрелки. Отрицательное нап-равление осей на эпюре не указывается, и в окончательном виде эпюр, заменяющий пространственную модель, примет вид, показанный на рис. 1.7.