Проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. Проанализировав программу средней школы по математике, пришла к выводу, что по существующим программам решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени. Немецкий физик 18-го столетия Лихтенберг сказал: « То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться, когда в том возникнет необходимость». Поэтому я решила и сделала подборку задач из ГИА – 9 классов, из ЕГЭ – 11 классов на банковские проценты, где применяется формула сложных процентов.

Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах и из разных сфер жизни человека;

Сделать подборку задач из ГИА – 9 кл., ЕГЭ -11кл., решаемые по формуле сложных процентов;

Исследовать бюджет семьи и посещаемость кружков учащихся моего класса;

Научиться составлять различные диаграммы и таблицы;

Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают целые части чисел в одних и тех же сотых долях. Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento(сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto ввел %.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды)[1].

Проценты применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

При решении задач на проценты в 5 — 6 классах применяют следующие правила:

Чтобы найти проценты от числа нужно, проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число.

Чтобы найти число по его процентам нужно, проценты превратить в десятичную дробь и число разделить на эту дробь.

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100.

Задачи с процентами можно решить разными способами: уравнением, составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя правила. Сделала подборку и решила задачи из ЕГЭ – 11, ГИА -9 классов.

За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%, в следующем году выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальной?

1 способ: Узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за первый год.

Теперь, узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за второй год.

В итоге у нас получилось, что выпуск продукции равен 1,35;

1) 1,00+0,08=1,08 (узнали выпуск продукции после первого увеличения)

2)1,00+0,25=1,25 (узнали выпуск продукции после второго увеличения)

3)1,08*1,25=1,35 (это выпуск продукции после двух увеличений)

4)1,35-1,00=0,35 (увеличения выпуска продукции после двух прибавок)

ОТВЕТ: выпуск продукции по сравнению с первоначальной вырос на 35%.

Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Дума потребовала от правительства возвращение цен к прежнему уровню. Для этого цены должны быть уменьшены (на сколько процентов)?

40% — составила первоначальная цена от инфляции, поэтому цены должны быть уменьшены на 60%

Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей можно купить на 650 рублей, после понижения на 15%?

Пусть: х – на сколько рублей понизилась цена тетрадей.

Сколько граммов воды надо добавить к 50г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор?

Так как количество соли от добавления не изменилось, то оно одинаково в обоих растворах – и в исходном, и в новом.

ОТВЕТ: 30 граммов воды надо добавить, чтобы получить 5% раствор.

Свежие грибы по массе содержат 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение: решим задачу с помощью таблицы и уравнения.

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход [3].

Сложные проценты — это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента — это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х (1+ 0,01а)n — периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)n — периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 % годовых.

Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10%.

Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?

ОТВЕТ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп..

Вывод: решила задачу, применив новое свойство нахождения процентов по формуле сложных процентов.

После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз?

Решим эту задачу по формуле сложных процентов – х (1-0,01а)n

По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению каждого года эти проценты капитализируются, то есть начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет на 80000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течении двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Эту задачу можно решить двумя способами: 1)по действиям

ОТВЕТ: по истечении двух лет получился доход в размере 20352 руб.

Эту же задачу решим по формуле банковских процентов: х(1 + 0,01а)n

Этим узнали конечную сумму на счете после двух лет. Теперь надо узнать какой доход был получен. Для этого из конечной суммы вычтем начальный вклад.

ОТВЕТ: по истечении срока был получен доход в размере 29 352 руб.

Вывод: решила задачу двумя способами, доказав, что проще и быстрее решить задачу по формуле сложных процентов, а не по действиям.

Банк предлагает клиентам два вида вкладов. Первый «До востребования» со следующим порядком начисления процентов: каждые 6 месяцев счет увеличивается на 10% от суммы, имеющиеся на счету клиента в момент начисления. Второй вклад «номерной» с ежегодным начислением процентов по вкладу. Сколько процентов годовых должен начислять банк по второму вкладу, чтобы равные суммы, положенные клиентом на каждые из указанных счетов, через два года оказались снова равными?

Решим эту задачу уравнением, применяя форму банковских процентов.

Пусть: х – начальный вклад; тогда через 6 месяцев сумма на счете будет равна

Сумма вклада «Номерной»через два года, после двух начислений равна х(1+0,01х)2

ОТВЕТ: банк должен начислять 21% годовых, по «номерному» вкладу.

Вывод: решила задачу, применив свойство сложных процентов.

Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с первого января снижать цены на товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 20%, в другом через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (первого июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать ценны товара через каждые два месяца во втором магазине?

Решим эту задачу с помощью формулы сложных процентов: х(1+0,01а)n

Пусть: х – начальная цена, тогда, через месяц, после первого понижения, в первом магазине, цена на товар будет равна х(1-0,2) после второго понижения х(1-0,2)2;

Тогда, через полгода (после шести понижений) цена будет равна х(1-0,2)4

Цена товара, во втором магазине после трех понижений на а% будет равна

В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала (3 месяца) повышать сотруднику зарплату на 2%. Однако с связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько % фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы первого января следующего года зарплата сотрудника была равна той, которую он получил бы в режиме повышения, предусмотренной договором?

ОТВЕТ: через каждый полгода зарплату сотрудникам надо поднимать на 4,04%

Проценты широко применяются в повседневной жизни. Я покажу это на примере бюджета моей семьи.

При составлении семейного бюджета я использовала правило нахождения процентов от числа для того, чтобы узнать процентный доход в бюджет каждого из родителей.

Для того чтобы найти в процентах зарплату, надо сумму умножить на 100 и разделить на 14000.

Вывод: составила бюджет своей семьи, применила свойство нахождения процентов от числа и представила данные в виде диаграммы.

Чтобы наглядно увидеть распределение семейного бюджета я составила таблицу.

Производная геометрический и физический смысл
Как создать документ в эксель