1) Найти модуль и аргумент чисел и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка , числу - точка .

Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:

Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и показательной применим формулы:

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Найдем частные производные и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

т.е. для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

т.е. для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел и частные производные существуют и непрерывны в окрестности любой точки , то производная существует в любой точке комплексной плоскости С.

а). Искомым множеством является пересечение кольца и внутренней части угла :

Неравенство определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Таким образом, функция гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в функция , что .

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Для того чтобы найти образ области при отображении , нужно найти образ границы области , затем взять произвольную точку из области и найти ее образ.

Пусть в области кривая задана . Чтобы найти уравнение образа этой кривой в плоскости при отображении с помощью функции , нужно исключить и из уравнений:

то параметрические уравнения её образа при отображении будут

В данном примере граница области состоит из трех частей: . Найдем ее образ при данном отображении.

Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):

Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:

Следовательно, образ границы : при и при ; . Изобразим образы границ на плоскости .

Для изображения образа области на плоскости возьмем контрольную точку. Точка обратится в точку .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) Функция имеет две особые точки и . Отметим их на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром в точке , проходящие соответственно через точки и . Следовательно, имеется три области, в каждой из которых функция является аналитической:

Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу

Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:

1) Рассмотрим круг . Запишем элементарные дроби и в виде , где при . Представим функцию следующим образом: . Теперь к таким дробям применима формула (1).

Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1) . Так как и тем более (если , то тем более ), значит, в силу формулы (1) .

Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

Функцию представим в виде . В силу полученных разложений имеет место равенство

Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.

б) Функция имеет 2 особые точки и , отметим их на плоскости Z. Точка совпадает с точкой . Проводим окружность с центром в точке , проходящую через точку .

Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция является аналитической:

Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:

1) Требуется получить разложение функции по степеням z-1 в области . Первая дробь уже представляет собой степень . Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену , тогда и . Дробь разложим по степеням как в предыдущем примере. При воспользуемся представлением:

Сделаем обратную замену. Получим, что при функция представима в виде

Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.

2) Аналогично, сделав замену , получаем представление дроби в области

Сделав обратную замену, получаем, что при функция представима в виде:

В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.

Задание 9. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит - полюс. Порядок высшей отрицательной степени определяет порядок полюса. Следовательно, - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.

в). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем разложение функции в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит - существенно особая точка. Тогда , т.к. коэффициент при равен нулю.

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) Так как подынтегральная функция аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

б) Подынтегральная функция определена и непрерывна всюду, ломаная представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла:

Для кривой, заданной параметрическими уравнениями , , справедлива формула .

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и . Тогда .

б). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и . Тогда .

Так как и - полюсы первого порядка, то для вычисления вычетов применим формулу, где , , .

а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция, , где и - многочлены степени и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

где означает сумму вычетов функции по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция четная, то =. Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции - это точки и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции относительно полюса равен =. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно, =.

б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция, , где и - многочлены степени и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси, , - произвольное действительное число, то

где означает сумму вычетов функции по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция является четной, то =. Построим функцию = такую, что на действительной оси (при ) совпадает с : . Отметим, что при справедливо равенство . Функция имеет в верхней полуплоскости полюс первого порядка в точке . Вычет функции относительно этого полюса равен =. Следовательно, = и =.

в) Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция аргументов и , и функция непрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем , тогда , , , . В этом случае

где есть сумма вычетов функции относительно полюсов, заключенных внутри окружности .

В рассматриваемом интеграле применим подстановку и после преобразований получим: =. Внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат содержится только одна особая точка подынтегральной функции - это точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции относительно точки равен =. Следовательно, =.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Как создать документ в эксель
Уравнение в полных дифференциалах решить онлайн