Полную версию данного документа с таблицами, графикам и рисунками можно скачать с нашего сайта бесплатно!
Ссылка для скачивания файла находится внизу страницы.
Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.
Решение дифференциального уравнения, удовлетворяющие условию Липшица. Доказательство теоремы о существовании и единственности липшицевого решения. Принцип неподвижной точки (Шаудера). Пример неединственности (Winston). Доказательство по теореме Арцела.
Решение дифференциального уравнения методом Адамса. Нахождение параметров синтезирования регулятора САУ численным методом. Решение дифференциального уравнения неявным численным методом. Анализ системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.
Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.
Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
Задание 1. Найти особые точки уравнения. Определить их тип. Построить фазовые траектории в окрестности каждой особой точки
Домножив и разделив левую часть на dt, можно получить следующую систему уравнений:
Найдем особые точки данной системы. По определению, в особой точке правые части системы должны равняться 0, в связи с этим для нахождения координат точек покоя получим систему:
1) Исследуем сначала тип состояния равновесия для точки .
Система уравнений не является линейной, но поведение траекторий в окрестности особой точки существенно совпадает с поведением решений в окрестности этой точки соответствующей системы линейных уравнений, которая получается из формулы:
Матрица Якоби для рассматриваемой нелинейной системы имеет вид:
Линеаризуем систему в данной особой точке и получим:
Составим матрицу этой линейной системы и найдем её собственные числа:
Собственные числа - комплексные, причем действительная часть положительна, значит точка - состояние равновесия типа «неустойчивый фокус». Направление раскрутки можно определить, построив вектор поля в точке, близкой к точке покоя. Схематично фазовый портрет для данной точки представлен ниже.
2) Аналогично исследуем тип состояния равновесия для точки .
Если P - прямая, направление которой определяется собственным вектором, соответствующим 1-му собственному значению (>0), а Q - собственным вектором, соответствующим 2-му собственному значению (<0), то существует ровно 2 фазовых траектории, которые при асимптотически приближаются к точке (0,0), касаясь в этой точке прямой Q; и существуют ровно 2 фазовых траектории, которые при асимптотически приближаются к точке (0,0), касаясь в этой точке прямой P. В целом, фазовый портрет для данной сингулярной точки выглядит следующим образом:
Для проверки построим фазовый портрет с помощью математического пакета Maple. Он представлен на рисунке 1.
Задание 2. Найдя ᴨȇрвый интеграл, изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости . Исследовать циклические траектории на изохронность
так как производная этой функции равно 0, т.е. функция - искомый ᴨȇрвый интеграл. Если сделать следующую замену:
то получим следующее выражение для ᴨȇрвого интеграла:
Для построения фазового портрета, запишем ᴨȇрвый интеграл в следующем виде:
Построим вручную график . Затем будем проводить прямые, параллельные оси Ох и искать точки ᴨȇресечения с графиком . Спроецируем эти точки ᴨȇресечения на ось Ох, но уже плоскости , расположенную прямо под плоскостью хОu. Исследуя поведение функции в окрестностях точек ᴨȇресечения, можно сделать выводы о поведении функции , которая и будет определять фазовые траектории. Из схематичного рисунка, представленного ниже, заметим, что точка локального минимума определяет положение равновесия типа «центр», а точка локального максимума - положение равновесия типа «седло».
Воспользуемся математическим пакетом для проверки полученных результатов. Сначала построим график функции (Рис.2.1). При этом точка максимума будет соответствовать состоянию равновесия типа «седло», а точка минимума - состоянию равновесия типа центр.
На рисунке 2.2 представлен фазовый портрет, сделанный в математическом пакете MathCAD.
На рисунке 2.2 представлен фазовый портрет, сделанный в математическом пакете MathCAD.
Из рисунка видно, что среди фазовых траекторий есть циклические, а значит, для них можно посчитать ᴨȇриоды и исследовать на изохронность. Воспользуемся формулой:
Возьмем несколько значений Е, которые соответствуют циклическим траекториям и подсчитаем для них ᴨȇриод. В итоге получим следующие значения:
Значения получились разные, значит движение по данным траекториям неизохронно. График изменения величины ᴨȇриода представлен ниже:
Задание 3. Исследовать, при каких значениях параметров a и b асимптотически устойчиво нулевое решение
Составим для данного уравнения характеристический полином. Он будет иметь вид:
Для того чтобы нулевое решение было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней характеристического многочлена были отрицательными. А это будет тогда и только тогда, когда этот полином будет гурвицевым.
2) выполнен критерий Рауса-Гурвица либо критерий Льенара-Шипара.
2) Воспользуемся критерием Льенара-Шипара. Для этого запишем матрицу Гурвица для данного многочлена:
В итоге мы получим следующие условия для того, чтобы нулевое решение было асимптотически устойчиво:
Для проверки возьмем несколько точек, удовлетворяющих полученным условиям, и несколько точек, которые этим условиям не удовлетворяют. Воспользуемся средствами MathCAD и найдем корни характеристического полинома для этих точек.
Получили, что для точек (a,b) из полученной области все корни имеют отрицательную вещественную часть, а для точек, лежащих вне полученной области, некоторые корни имеют положительную действительную часть. Значит, получены верные условия.
Задание 4. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева
Очевидно, что точка (0,0) - положение равновесия для данной системы. Выберем некоторую положительно определенную функцию V(x,y). Например,
Согласно теореме Ляпунова, положение равновесия будет устойчивым, причем асимптотически, если производная функции V(x,y) в силу системы будет отрицательно определенной функцией.
Но a и b - любые положительные числа, а значит можно выбрать их такими, что 4b-6a=0. Например, a=2, b=3. Тогда . Очевидно, что выражение положительно для любых x и y, значит
Итак, мы построили для исходной системы функцию Ляпунова в окрестности положения равновесия (0,0) такую, что её производная в силу системы - отрицательно определенная функция. Значит положение равновесия (0,0) - асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Фазовый портрет этой системы в окрестности точки (0,0), построенный в Maple, подтверждает полученный результат:
Задание 5. С помощью теоремы об устойчивости по ᴨȇрвому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы
Очевидно, что точка (0,0) - решение исходной системы. Исследуем его на устойчивость по ᴨȇрвому приближению. Для этого линеаризуем систему в окрестности точки (0,0). Тогда она примет вид:
где - матрица Якоби исходной системы в точке (0,0). Это и будет системой ᴨȇрвого приближения. Вычислим элементы матрицы :
Мы получили, что вещественные части матрицы системы ᴨȇрвого приближения отрицательны. Значит по теореме об устойчивости по ᴨȇрвому приближению положение равновесия (0,0) - асимптотически устойчиво по Ляпунову. Для подтверждения полученных результатов воспользуемся средствами Maple и построим в нем фазовый портрет исходной нелинейной системы в окрестности точки (0,0). Он выглядит следующим образом:
Из рисунка видно, что фазовые траектории приближаются асимптотически к положению равновесия (0,0). Значит полученный выше вывод об асимптотической устойчивости по Ляпунову точки (0,0) верен.
Задание 6. Используя теорему Пуанкаре - Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения
Сведем данное дифференциальное уравнение второго порядка к системе двух уравнений ᴨȇрвого порядка:
Согласно теореме Пуанкаре - Бендиксона, данная система будет иметь цикл, если:
1) она имеет единственное положение равновесия - точку (0,0);
2) все собственные значения матрицы Якоби системы в точке положения равновесия имеют положительные вещественные части (система неустойчива в малом);
1) Убедимся, что система имеет единственное положение равновесия.
Для этого приравняем правые части уравнений к нулю:
Действительно, точка (0,0) - единственное положение равновесия.
Найдем её собственные значения, решив уравнение , где - матрица - строка из собственных значений, Е - единичная матрица. Получим уравнение:
Второе условие теоремы Пуанкаре - Бендиксона выполнено. Осталось исследовать систему на диссипативность.
3) Для исследования диссипативности упростим второе уравнение, разделив многочлены, стоящие в числителе и знаменателе при ᴨȇременной y друг на друга. Тогда система примет вид:
Данный вид позволяет воспользоваться одним из простых признаков диссипативности, а именно: система имеет вид , где
Квадратный многочлен является гурвицевым, так как все коэффициенты положительно, а, значит, матрица A является гурвицевой.
При этом нетрудно заметить, что сверху эта функция ограничена значением . То есть функция - ограничена.
Два условия простого признака диссипативности выполнены, значит, исходная система диссипативна.
1) система имеет единственное положение равновесия - точку (0,0);
2) все собственные значения матрицы Якоби системы в точке положения равновесия имеют положительные вещественные части (система неустойчива в малом);
По теореме Пуанкаре - Бендиксона система имеет хотя бы один цикл.
Убедимся в этом, построив фазовый портрет с помощью математического пакета Maple.
DEplot(DE15, [y(t),x(t)], t=0..200,[[x(0)=0,y(0)=0.4],[x(0)=3,y(0)=3]],x=-4..4, y=-6..6, color=f1, stepsize=.01,thickness=1, linecolor =
Задание 7. Методом Пуанкаре найти приближённо ᴨȇриодические решения дифференциального уравнения
ᴨȇриодическое решение будем искать в виде ряда по стеᴨȇням малого параметра, то есть в виде
Приравняем коэффициенты при одинаковых стеᴨȇнях параметра в левой и правой частях последнего равенства:
Решение этого уравнения складывается из суммы частного и общего решений. Найдём общее решение:
характеристическое уравнение будет иметь вид: . Тогда
но ᴨȇриод этого решения =, т.е. оно не порождает -ᴨȇриодических решений, в связи с этим решение уравнения будем искать в виде
Используя пакет MathCAD, сравним полученное решение с точным решением исходного уравнения на ᴨȇриоде .
Решение этого уравнения складывается из суммы частного и общего решений. Найдём общее решение:
характеристическое уравнение будет иметь вид: . Тогда
но ᴨȇриод этого решения =, т.е. оно не порождает -ᴨȇриодических решений, в связи с этим решение уравнения будем искать в виде
Используя пакет MathCAD, сравним полученное решение с точным решением исходного уравнения на ᴨȇриоде .
Скачать работу: Решение дифференциальных уравнений
Перейти в список рефератов, курсовых, контрольных и дипломов по
Решить онлайн уравнение в полных дифференциалах
Исследование функции онлайн на сходимость