Разложить на комплексные множители

Раскладывать многочлены на множители приходится при упрощении выражений (чтобы можно было провести сокращение), при решении уравнений или при разложении дробно рациональной функции на простейшие дроби.

Имеет смысл говорить о разложении многочлена на множители, если его степень не ниже второй.

Рассмотрим сначала теоретические основы, затем перейдем непосредственно к способам разложения многочлена на множители.

Любой многочлен степени n вида представляется произведением постоянного множителя при старшей степени и n линейных множителей , i=1, 2, …, n, то есть , причем , i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.

Эта теорема сформулирована для комплексных корней , i=1, 2, …, n и комплексных коэффициентов , k=0, 1, 2, …, n. Она является основой для разложения любого многочлена на множители.

Если коэффициенты , k=0, 1, 2, …, n – действительные числа, то комплексные корни многочлена ОБЯЗАТЕЛЬНО будут встречаться комплексно сопряженными парами.

К примеру, если корни и многочлена являются комплексно сопряженными, а остальные корни действительные, то многочлен представится в виде , где

Доказательство теоремы проводится с использованием основной теоремы алгебры и следствия из теоремы Безу.

Всякий многочлен степени n имеет по крайней мере один корень (комплексный или действительный).

При делении многочлена на (x-s) получается остаток, равный значению многочлена в точке s, то есть , где есть многочлен степени n-1.

Если s – корень многочлена , то .

Это следствие будем достаточно часто употреблять при описании решения примеров.

Квадратный трехчлен раскладывается на два линейных множителя: , где и являются корнями (комплексными или действительными).

Таким образом, разложение на множители квадратного трехчлена сводится к решению квадратного уравнения.

Разложить квадратный трехчлен на множители.

Найдем корни квадратного уравнения .

Дискриминант уравнения равен , следовательно,

Таким образом, .

Для проверки можно раскрыть скобки: . При проверке пришли к исходному трехчлену, поэтому разложение выполнено верно.

Разложить на множители квадратный трехчлен .

Соответствующее квадратное уравнение имеет вид .

Поэтому, .

Разложить многочлен на множители .

Найдем корни квадратного уравнения .

Разложение многочлена будет именть вид .

Разложить на множители квадратный трехчлен .

Решим квадратное уравнение .

В дальнейшем, при отрицательном дискриминанте, мы будем оставлять многочлены второго порядка в исходном виде, то есть не будем раскладывать их на линейные множители с комплексными свободными членами.

В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.

В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.

Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.

Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .

Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .

Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки.

Разложить многочлен третьей степени на множители.

Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:

Найдем корни квадратного трехчлена

Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.

В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Разложить на множители выражение .

Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18: . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:

То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:

Осталось разложить квадратный трехчлен .

Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.

вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.

Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.

В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.

Разложить на множители выражение .

Выполнив замену переменной y=2x, перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4.

Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.

То есть, y=-5 является корнем , следовательно, является корнем исходной функции. Проведем деление столбиком (уголком) многочлена на двучлен .

Проверку оставшихся делителей продолжать нецелесообразно, так как проще разложить на множители полученный квадратный трехчлен

Далеко не всегда многочлены имеют рациональные корни. В этом случае при разложении на множители приходится искать специальные способы. Но, как бы нам не хотелось, некоторые многочлены (а точнее подавляющее большинство) так и не получится представить в виде произведения.

Иногда получается сгруппировать слагаемые многочлена, что позволяет найти общий множитель и вынести его за скобки.

Разложить многочлен на множители.

Так как коэффициенты являются целыми числами, то могут быть целые корни среди делителей свободного члена. Проверим значения 1, -1, 2 и -2, вычислив значение многочлена в этих точках.

То есть, целых корней нет. Будем искать другой способ разложения.

После группировки исходный многочлен представился в виде произведения двух квадратных трехчленов. Разложим их на множители.

При всей видимой простоте группировки очень не просто выбрать слагаемые для ее проведения. Универсальных способов нет, так что экспериментируем и еще раз экспериментируем.

Разложить на множители .

Целых корней многочлен не имеет (нужно проверить лишь делители числа 2).

Разложив на множители каждый из полученных квадратных трехчленов, придем к результату:

Иногда внешний вид многочлена наводит на мысль о способе его разложения на множители.

К примеру, после несложных преобразований коэффициенты выстраиваются в строчку из треугольника Паскаля, то есть, являются коэффициентами бинома Ньютона.

Разложить многочлен на множители.