19.3. Дифференцируемость функции комплексной переменной.

19.3.1. Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f(z ) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C . Производной функции w = f(z ) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z , называется дифференцируемой в этой точке.

В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z ) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y ) и v(x, y ), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.

Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z , если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Примеры. 1. f(z) = z 2 . В этом случае f (z + Δz) = (z + Δz) 2 = z 2 + 2 z·Δz + (Δz) 2 ; . Таким образом , эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2 z.

2. f(z) = | z | 2 = x 2 + y 2 . Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке z ≠ 0 . Будем стремить Δz → 0 по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае Δz = Δx), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае Δz = i Δy ). В первом случае , во втором . Эти пределы равны, только если 2х = −2iy ⇒ х = y = 0 . Таким образом, функция f(z) = | z | 2 = x 2 + y 2 может быть дифференцируема в единственной точке z = 0, во всех остальных точках пределы различны в зависимости от способа стремления Δz → 0, т.е. не существует.

19.3.2. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.

Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y ) была дифференцируема в точке z = x + iy , необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z ) и v(x, y) = Im f(z ) были дифференцируемы в точке (х , у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения .

= (u(x + Δx, y) − u(x, y)) + i(v(x + Δx, y) − v(x, y)) = Δ_xu + iΔ_xv; .

Во втором случае: (напомню, что ) Δw = (u(x, y + Δy) + iv(x, y + Δy)) − (u(x, y) + iv(x, y)) =

= (u(x, y + Δy) − u(x, y)) + i(v(x, y + Δy) − v(x, y)) = Δ_yu + iΔ_yv; . Пределы должны быть равны, поэтому .

Достаточность. По предположению теоремы, функции u(x, y), v(x, y ) дифференцируемы в точке (х , у), поэтому где α(Δx, Δy), β(Δx, Δy) - бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с , т.е. , . Найдём . .

Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Δz = Δx + iΔy : ; далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим на , на ; тогда . Отсюда следует, что существует , т.е. функция дифференцируема в точке (х , у ).

Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул , эти равенства следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного анализа: (в точках, где g(z) ≠ 0.

1. Выше мы доказали, что функция f(z) = z 2 имеет производную, равную 2 z , в каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия Коши-Римана. Так как w = z 2 = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2 ixy, то . Тогда .

2 . Для функции w = e z мы получили u(x, y) = e z cos y, v(x, y) = e z sin y . Поэтому , т.е. функция дифференцируема. .

19.3.4. Геометрический смысл производной. Равенство означает, что Δw = f ′(z)·Δz + γ(Δz)·Δz, где γ(Δz) → 0 при Δz → 0. Отсюда, в частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Будем писать Δw ≈ f ′(z)·Δz, пренебрегая слагаемым высшего порядка малости. Пусть в точке z существует f ' (z) ≠ 0. Возьмём точки z и z + Δz; пусть w = f(z ), тогда Δw ≈ | f ′ (z)|·e i arg f ′ (z) ·Δz = | f ′ (z)|·|Δz|·e i (arg f ′ (z) + arg Δz) . Таким образом, |Δw| в |f ′ (z)| больше |Δz|, arg Δw больше arg Δz на arg f ′ (z) для любого arg Δz (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Следовательно, в окрестности любой точки z , в которой f ′ (z) ≠ 0 отображение z → w = f (z) действует следующим образом: любой вектор растягивается в | f ′ (z)| раз и поворачивается на угол arg f ′ (z).

Любое преобразование плоскости в плоскость, обладающее эти свойством (т.е. свойством сохранения углов), называется конформным. Если при этом сохраняется направление отсчёта углов, то преобразование называется конформным преобразованием первого рода; если направление отсчёта углов меняется на противоположное, то преобразование называется конформным преобразованием второго рода. Мы доказали, что аналитическая в некоторой области G функция w = f(z) осуществляет конформное отображение первого рода во всех точках, в которых производная отлична от нуля .

Пример конформного отображения второго рода – недифференцируемая функция .

19.3.6. Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана по переменной х, второе соотношение по переменной у, получим , т.е. Δu = 0 (Δ - оператор Лапласа), т.е. u(x, y ) - гармоническая функция. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана по переменной у, второе соотношение по переменной х, получим , т.е. Δv = 0, т.е. v(x, y ) - тоже гармоническая функция. Пара гармонических функций, связанных соотношениями Коши-Римана, называется сопряжёнными функциями . Легко доказать, что для любой гармонической в односвязной области D функции u(x, y ) существует единственная (с точностью до постоянного слагаемого) сопряжённая с ней гармоническая функция v(x, y ), т.е. такая функция, что w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y ) - аналитическая функция; и наоборот, для любой гармонической v(x, y ) существует сопряжённая с ней гармоническая u(x, y ). Пусть, например, дана u(x, y ), обозначим . Эти функции удовлетворяют условию , т.е. векторное поле потенциально. Функцию v(x, y ) можно найти теперь из системы (как это делается при решении уравнения в полных дифференциалах P(x, y)·dx + Q(x, y)·dx = 0) , и как потенциальную для поля функцию .

v_x′ = e - y (cos x − x sin x − y cos x); v_xx″ = e - y (−sin x − sin x − x cos x + y sin x) = e - y (−2 sin x − x cos x + y sin x); v_y′ = −e - y (x cos x − y sin x + sin x); v_yy″ = e - y (x cos x − y sin x + sin x + sin x) = e - y (−2 sin x − x cos x + y sin x); , т.е. v(x, y ) - гармоническая функция и, следовательно, может являться мнимой частью аналитической функции.

Найдём эту функцию. Для действительной части u(x, y ) справедливы соотношения

для нахождения φ(y) используем второе уравнение системы: φ ′ (y) = 0 ⇒ φ(y) = C = const.

Формально мы можем выписать w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) = e – y [ - (xsin x + ycos x) + i(xcos x - ysin x) ] + C , но толку в этой записи нет, так как не видна зависимость f от z . Поэтому сделаем по-другому. Выпишем производную f ′ (z): . На действительной оси (при у=0, т.е при z = x) функция w = f(z ) превращается в функцию действительной переменной f(x ), её производная - в f ′ (x). Положим в f ′ (z) у = 0, x = z : f ′ (z) | _{y = 0, z = x} = −e −y [(x cos x − y sin x + sin x) + i(cos x − x sin x − y cos x)] | _{y = 0, z = x} = − z cos z − sin z + i(cos z − z sin z) ; проинтегрировав это выражение, получим f(z).

Техника нахождения неопределённых интегралов в теории функций комплексной переменной в основном та же, что и в математическом анализе; таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова, поскольку одинакова таблица производных. Поэтому = − z sin z + iz cos z + C = iz (cos z + i sin z) + C = iz e iz + C , где С – произвольная вещественная постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования будет действительной, если по условию задачи задана функция v(x, y ), и с точностью до произвольной постоянной находится действительная часть u(x, y ) функции f(z ); если же задана функция u(x, y ), то с точностью до произвольной постоянной интегрирования находится мнимая часть v(x, y ), т.е постоянная будет чисто мнимым числом Ci (C - произвольное вещественное число).

Проверим полученный результат. Если f(z) = iz e iz + C , то f(z) = (ix − y) e ix − y + C = = e −y (ix − y)(cos x + i sin x) + C = i e −y x cos x − e −y x sin x − e −y y cos x − i e −y y sin x + C = ;

; условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция f(z) = iz e iz + C - аналитическая на всей комплексной плоскости функция.

Во всех этих рассуждениях мы проигнорировали вопрос о том, имеют ли функции u и v производные порядка выше первого? (Существование первых производных следует, как мы видели, из дифференцируемости f(z )). Дальше мы докажем, что, в отличие от действительного случая, ФКП обладает удивительным свойством - если она аналитична в некоторой области (т.е. в каждой точке этой области имеет первую производную), то она бесконечно дифференцируема в этой области (т.е. в каждой точке этой области она имеет производную любого порядка). Как следствие, функции u и v тоже бесконечно дифференцируемы.