Построение графика произвольной функции может быть как отдельной задачей, так и вспомогательной - например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами.
Алгоритм исследования функции 
и построения ее графика таков:
1. Находим область определения (D(f)) функции .
2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения 
из D(f) значение 
также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.
Если 
, то функция четная . (Примером четной функции является функция 
)
Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.
Если 
, то функция нечетная . (Примером нечетной функции является функция 
)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для 
=0" title="x>=0"/>
, а затем соответствующим образом отразить ее.
3. Находим точки пересечения графика с осями координат.
Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (OX).
Для этого мы решаем уравнение 
.
Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.
Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при 
.
4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нам нужно решить неравенства 
0" title="f(x)>0"/> и 
.
Краткий экскурс на тему, что такое асимптоты и как их находить читайте здесь.
6. Если функция периодическая, то находим период функции.
7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.
а) Находим производную 
б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения 
- это стационарные точки.
в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции.
Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.
Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.
Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.
8. И последний номер наше программы - точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.
Подробнее о том, как находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости читайте здесь.
Итак, давайте, для примера, исследуем функцию 
и построим ее график.
0" title="
Сразу отметим, что при 
знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые 
и 
являются вертикальными асимптотами графика функции .
2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля (мы выкололи две симметричные точки: и )
Получили, что , следовательно, функция - нечетная, и график функции симметричен относительно начала координат.
График нашей функции проходит через начало координат.
Решим неравенство 
0" title="
Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки:
Корень числителя:
Корни знаменателя: ;
Итак, 0" title="f(x)>0"/> при 
и 
при 
и 
5. Найдем асимптоты графика функции .
Вертикальные асимптоты мы уже нашли в п.1, это прямые и .
Уравнение горизонтальной асимптоты функции имеет вид 
, где
.
Степень числителя дроби 
на единицу больше степени знаменателя, поэтому 
не существует, и график функции не имеет горизонтальной асимптоты.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид 
.
Коэффициенты 
и 
вычисляются следующим образом:
В нашем случае 
.
(Степень знаменателя на единицу больше степени числителя).
То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид 
.
6. Найдем промежутки возрастания-убывания функции и экстремумы.
а) Найдем производную функции
(корень четной кратности); 
; 
Корни знаменателя - - также корни четной кратности.
В корнях четной кратности производная знак не меняет.
в) Нанесем нули производной и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.
Заметим, что, поскольку функция нечетная, и мы нашли, что 
, мы могли бы сразу написать, что 
Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат.
На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции.
Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции (п. 4) и построим ее график. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним!
После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам.
Если наблюдается какое-то несоответствие, то необходимо повторить исследование и найти причину нестыковки графика и поведения функции.
Вычисление объемов тел вращения онлайн