И как следствие этого, показываем, что для каждого примера на умножение, можно составить два примера на деление.

Учитель. Сравните примеры на деление с примером на умножение. Как получили второй множитель 2?

Дети. Произведение 6 разделили на первый множитель 3.

Дети. Произведение 6 разделили на второй множитель 2.

После выполнения нескольких аналогичных упражнений ученики делают вывод: если произведение двух чисел разделить на первый множитель, то получим второй множитель, а если произведение двух чисел разделить на второй множитель, то получим первый множитель.

Позднее эти два вывода объединяют в один: если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получится другой множитель.

Чтобы добиться усвоения учащимися связи между произведением и множителями, предлагается такие упражнения:

1) Вычисли произведение и, используя его, найди частное.

2) Вычисли частное и, используя его, найди произведение:

3) Вычисли произведение и в каждой строке, используя его, найди частное.

На этом же этапе на основе связи между произведением и множителями рассматриваются табличные случаи деления с числом 2. Ученики записывают по памяти известную им таблицу на 2. Затем, используя знание связи между компонентами и результатом действия умножения, находят результаты соответствующих случаев деления.

Ученики рассуждают: произведение чисел 2 и 3 равно 6; если произведение 6 разделить на первый множитель 2, то получится второй множитель 3, а если произведение 6 разделить на второй множитель 3, то получится первый множитель 2 и т. д.

Чтобы ученики усвоили рассмотренные случаи деления с числом 2, их надо чаще включать в устные упражнения и в письменные работы.

Аналогичным образом изучаются связи между компонентами и результатом деления: если частное умножить на делитель, то получится делимое, а если делимое разделить на частное, то получится делитель.

При закреплении знания этих связей надо ознакомить учащихся с приемом подбора частного. Например, надо 18 разделить на 6, для этого подбираем такое число (частное), при умножении которого на делитель 6 получается делимое 18; это число 3, так как 6·3=18 [9,78].

На основе изученного материала вводятся приемы умножения и деления с числами 1 и 10.

Учащиеся решают задачу, находят результат сложением: «На 5 лошадей сели по 1 всаднику».

Затем, сравнив в каждом случае результат с множителями, они приходят к выводу: при умножении единицы на любое число получается то число, на которое умножали.

Затем вводится правило умножения на 1: при умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали, например, 4·1=4, 12·1=12, a·1=a. Здесь необходимо использовать прием замены произведения суммой, на этом же основании нельзя опираться и на перестановку множителей. Поэтому надо сообщить детям это правило и в дальнейшем использовать его в вычислениях.

Деление на число, равное делимому (3:3=1), раскрывается на основе конкретного смысла деления: если, например, 3 карандаша разложить в 3 коробки поровну, то в каждой коробке окажется по одному карандашу.

Рассуждая, таким образом, ученики решают несколько аналогичных примеров: 4:4=1, 6:6=1 и т. п. При этом замечают, что при делении на число, равное делимому, в частном получается 1.

Деление на 1 вводятся на основе связи между компонентами и результатом действия умножения: зная, что 1·4=4, найдем, что 4:1=4. Решив, таким образом, ряд примеров и сравнив их между собой, ученики делают вывод: при делении любого числа на единицу в частном получается это же число. Этим выводом они пользуются в дальнейшем при вычислениях.

При умножении 10 на однозначные числа ученики пользуются приемом: чтобы умножить 10 на 2, можно 1 десяток умножить на 2, получится 2 десятка, или 20. Умножая на 10, дети используют переместительное свойство умножения: чтобы 2 умножить на 10, можно 10 умножить на 2, получится 2 десятка, или 20. При делении используется знание связи между компонентами и результатом действия деления: чтобы 20 разделить на 10, надо подобрать такое число, при умножении которого на 10 получится 20; это 2; значит, 20:10=2. Так же находим, что 20:2=10.

Все перечисленные вопросы помогают при рассмотрении следующего вопроса, т. е. при изучении таблицы умножения. Рассматривая их, мы вели подготовку детей к изучению таблицы умножения.

Изучение таблицы умножения и деления - очень важный этап изучения темы. В основных требованиях к знаниям учащихся в программе записано: «Учащиеся должны знать таблицу умножения и соответствующие случаи деления». Изучение таблиц умножения и деления предлагает следующие моменты:

При составлении и усвоении таблицы каждый раз обращается внимание не только на правильность полученного результата, но и на то, как получен ответ, какие еще могут быть способы вычисления того же результата, какие из них более рациональны.

Знанию таблицы умножения всегда придавали большое значение. Современная методика требует, чтобы дети не только знали таблицу умножения, но и поняли принципы составления таблицы, дающей возможность находить любое произведение. Поэтому ученик должен не только выучить и запомнить результаты табличного умножения, но и уметь при необходимости вычислить результаты самым кратчайшим способом.

В практике довольно часто можно наблюдать, что некоторые учащиеся механически зазубривают результаты табличного умножения, а, забыв их, не могут прибегнуть к известным приемам вычисления. Поэтому в процессе составления таблиц и их усвоения, нужно стараться развивать у детей умение пользоваться при умножении и делении разнообразными вычислительными приемами и выбирать из них те, которые для данного случая являются наиболее подходящими [24,65].

Усвоение смысла действия умножения и умение применять данное значение на практике позволяет учащимся самостоятельно справиться с составлением таблицы умножения.

Переместительное свойство умножения позволяет сократить число табличных случаев, которые нужно заучить на память.

Предполагается, что усвоение табличного случая умножения должно обеспечить знание табличных случаев умножения [6,45].

Начинается работа по составлению первых таблиц умножения и деления еще на этапе подготовки. При составлении используются все те примеры, которые были уже усвоены детьми на предыдущих уроках.

Начинается работа по составлению первых таблиц умножения и деления еще на этапе подготовки.

Так после раскрытия смысла действия умножения как сложения одинаковых слагаемых составляется первая таблица умножения числа 2. Здесь важно показать детям принцип получения результата действия.

Однако уже здесь с самого начала (начиная с изучения таблицы умножения двух) полезно использовать для получения результата переместительное свойство произведения. Так, скажем, вместо того чтобы складывать 9 раз по 2, вычисляя произведение 2·9, можно заменить этот пример другим: 9·2 - и найти результат так: 9+9=18. Далее составляется таблица.

Здесь важно показать детям, что если мы знаем соответствующий результат первой таблицы, то во второй вычислять и записывать не надо.

Каждая составляемая впервые таблица умножения того или иного числа должна возникать на глазах у детей, чтобы они уловили и принцип ее составления. Таблица записывается столбиком, затем по отношению к каждому из примеров составляется ему пример, получаемый перестановкой множителей, и два примера на деление. При изучении этого вопроса учащиеся основываются на нахождение неизвестного множителя и показывают принцип составления взаимообратных примеров на умножение и деление:

На этой основе составляются две таблицы на деление с числом 2. Эта работа должна обязательно дублироваться на доске, чтобы в тетрадях оказались правильно записанные таблицы умножения и соответствующие таблицы деления.

Таким образом, уже на подготовительном этапе перед изучением таблицы умножения и деления мы познакомили детей с принципом составления каждой из четырех таблиц и способами их пользования.

Изучение таблицы умножения и деления мы начинаем с повторения и деления с числом 2. Все 4 таблицы, составляемые раннее, мы собираем вместе, вспоминаем принцип составления каждой из них, детально на конкретных примерах разбираем правила ими пользования, ориентируем детей на их запоминание.

Затем переходим к изучению таблиц с другими числами: 3, 4, 5, …, 9. Каждая новая таблица начинается со случая умножения двух одинаковых чисел (например, при изучении умножения четырех: 4·4), так как все предыдущие случаи умножения данного числа являются уже известными - они могут быть получены в рассмотренных ранее таблицах, если переставить множители.

Для каждого из чисел учитель вместе с детьми составляет на одном уроке все 4 таблицы, продолжает формировать у детей умение работать с ними, ведет работу по их запоминанию.

Работа по запоминанию таблицы умножения и деления должна начинаться на том же уроке, где она составлена. При этом предполагается, что заучиваться должна только первая из четырех, а результат в остальных дети будут быстро и уверенно получать на основе результата первой таблицы и соответствующих правил независимостей.

Например, если 3·4=12, то 4·3=12, т.к. от перестановки множителей произведение не меняется. 12:3=4 и 12:4=3, т.к. если произведение 12 разделим на первый множитель 3. то получим второй множитель 4, а если разделим на второй множитель 4, то получим первый множитель 3.

Однако, как показывает практика и результаты проверок, дети достаточно часто успешно усваивают первую таблицу, а результаты остальных, особенно таблиц деления, находят с большим трудом.

Такое положение выдвигает проблему поиска путей совершенствования методики работы по заучиванию табличных случаев умножения и деления.

Целесообразно при работе с таблицей, ориентировать детей на обязательное заучивание первого столбика, учить их как, зная результат первого столбика, получить результаты остальных в данной строчке, и даже практиковать построчное заучивание.

Следует обратить внимание на то, что учитель в процессе работы по заучиванию таблицы должен вести систематический контроль и учет того, как каждый ребенок продвигается в ее усвоении. Для этого практически на каждом уроке должна быть организована работа тренировочного характера. Задания, предлагаемые детям, должны отличаться разнообразием и способствовать включению в работу всех детей класса. Необходимо использовать приемы, формы работы, способствующие поддержанию интереса детей, а также различные средства обратной связи.

При этом учитель должен осуществлять необходимую практическую помощь детям, особенно на первых порах. Некоторые столбики таблицы, большие по количеству случаев для запоминания, трудно заучить в один прием. В этом случае надо заучивать его по частям, причем точно определить, сколько случаев выучить сегодня, сколько - завтра. Нужно давать и практические советы, как заучивать (прочитать, попробовать записать, забыв, - прочитай и запомни, закрой ответы, повтори и т. д.).

Для проверки усвоения таблицы целесообразно использовать и различные формы проверки: фронтальный опрос, математический диктант, перфокарты, карточки с математическими заданиями, игры и др.

По мере усвоения таблицы при проверке следует учитывать и уровень ее запоминания:

- затем даются упражнения с ограничением времени (проверяется автоматизм усвоения) [4,51-52].

После изучения всех таблиц умножения рассматриваются случаи умножения и деления с нулем.

Сначала вводится случай умножения нуля на любое число (0·5, 0·2, 0·7). Результат учащиеся находят сложением (0·2=0+0, 0·3=0+0+0=0). Решив ряд аналогичных примеров, ученики замечают, что при умножении нуля на любое число получается нуль. Этим правилом они в дальнейшем и руководствуются.

Если второй множитель равен нулю, то результат нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, так как это новая область чисел, в которой переместительное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому второе правило: «Произведение любого числа на нуль считают равным нулю» - учитель просто сообщает детям.

Затем оба эти правила применяются при выполнении различных упражнений на вычисления.

Деление нуля на любое число, не равное нулю (0:6), рассматривается на основе связи между компонентами и результатом деления. Ученики рассуждают так: чтобы 0 разделить на 6, надо найти число, при умножении которого на 6 получится 0. Это нуль, так как 0·6=0. Значит, 0:6=0. В результате решения ряда аналогичных примеров ученики замечают, что при делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю. В дальнейшем учащиеся пользуются этим правилом.

Как известно, делить на нуль нельзя. Этот факт сообщается детям и поясняется на примере: нельзя 8 разделить на 0, так как нет такого числа, при умножении которого на 0 получится 8.

Необходимо чаще включать в тренировочные упражнения случаи умножения и деления с числами 0 и 1, сравнивая соответствующие приемы (5·0 и 5·1), чтобы предупредить смешение [4,103].

Доказать что векторы линейно зависимы и найти эту зависимость
Умножение и деление что такое