Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции. Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждомукомплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только однокомплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» сталапеременной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различныедействительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменныхи, которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде: , гдеи– две функции двухдействительных переменных.

Функция называетсядействительной частью функции . Функцияназываетсямнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функцийи. Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Найти действительную и мнимую часть функции

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили.

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом– раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ: – действительная часть функции.– мнимая часть функции.

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные. Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Пусть даны два множества D и Е, элементами которых являются комплексные числа Z=x+iy (Z прин. D) W=U+iV (W прин. E) И будем изображать точками на плоскости: Если каждому числу (точке) Z прин. D по некоторому правилу поставлено в соответствие число (точка) W прин. Е, то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного W=f(z), отображающая множество D в множестве E. Например, Z=2+3i; W=Z^2 -> W=(2+3i)^2 Если каждому Z прин. D соответствует много значений W, то функция W=f(Z) называется многозначной. Множество D называется областью определения функции W=f(Z). Множество E всех значений W=f(z) называется областью значений этой функции. Будем рассматривать множества D и E как области. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности. W=U+iV=f(x+iy)=U(x;y)+iV(x;y) Функция u(x;y) называется действительной функций комплексного переменного. Функция V(x;y) называется мнимой. Таким образом задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций с действительной и мнимой частью. Тригонометрическая: Показательная:

51)Дифференцируемость функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Пусть функция w=f (z) определена в некоторой области G комплексной плоскости. Пусть точки z и z+z принадлежат области G. Положим w=f (z+z)–f (z), z = x+iy.

Функция w=f (z) называется дифференцируемой в точке zG, если существует предел

. Этот предел называют производной функции f (z) и обозначают через f (z ) (или ).

Пусть z=x+iy, w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y), тогда в каждой точке дифференцируемости функции f (z) выполняются соотношения:

Эти соотношения принято называть условиями Коши-Римана (или уравнениями Коши-Римана).

Когда в некоторой точке (x,y) выполняются условия Коши-Римана и, кроме того, функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы как функции действительных переменных, то функция f (z)=u+iv дифференцируема в точке z=x+iy как функция комплексного переменного z.

Если функция дифференцируема как в самой точке z, так и в её некоторой окрестности, то говорят, что она аналитическая в точке z.

Функцию, дифференцируемую в каждой точке области G, называют аналитической в этой области.

Производная аналитической функции через частные производные функций u и v выражается по формулам:

Производные элементарных функций комплексного переменного находятся по тем же формулам и правилам, что и для функций действительного переменного.

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного .

Д'Аламбера - Эйлера условия,- условия на действительную и=и( х,у).и мнимую v= v(x, у).части функции комплексного переменного обеспечивающие моногенность и аналитичность f(z) как функции комплексного переменного.

Для того чтобы функция w=f(z), определенная в нек-рой области Dкомплексной плоскости z, быламоногеннойвточке т. е. имела производную в точке z₀ как функция комплексногопеременного z, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части ии vбылидифференцируемы в точке (x₀, y₀) как функции действительных переменных хи у ичтобы, кроме того, в этойточке выполнялись условия Коши - Римана:

Если К.- Р. у. выполнены, то производная f'(z) представима в любой из следующих форм:

Для того чтобы однозначная в области Dфункция f(z) была аналитической в D, необходимо и достаточно,чтобы ее действительная и мнимая части были дифференцируемыми функциями, удовлетворяющими К.- Р.у. всюду в D. Функции и и v класса C 2 (D), удовлетворяющие К.- Р. у. (1), являются, каждая по отдельности,гармоническими функциями от хи у, условия (1) суть условия сопряженности этих двух гармонич. функций:зная одну из них, вторую можно найти интегрированием.

Условия (1) справедливы для любых двух ортогональных направлений s и п, ориентированных взаимно также, как оси Ох и Оу в виде:

Напр., в полярных координатах (r, j) при

Таким образом, дифференцируемая функция переменныхявляется аналитич.функцией от z тогда и только тогда, когда

Для аналитич. функций многих комплексных переменных

К.- Р. у. записываются в виде переопределенной при n>1 системы уравнений с частными производными дляфункций

или, при помощи операторов комплексного дифференцирования, в виде:

Функции ии vкласса С 2 , удовлетворяющие условиям (2), являются при каждая по отдельности,плюригармоническими функциями от переменных Плюригармонич. функции при n>1 составляютсобственный подкласс класса гармонич. функций. Условия (2) суть условия сопряженности двухплюригармонич. функций ии v:зная одну из них, другую можно найти интегрированием.