В заключение этого раздела приведем формулу Лейбница, которая позволяет вычислить производную или дифференциал n-го порядка от произведения 2-х функций.

Чтобы найти производную (дифференциал) от (uv) ( n ) надо по формуле бинома Ньютона разложить n-ю степень суммы (u+v) n и затем заменить показатели степеней u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени (u 0 и v 0 ), входящие в крайние члены разложения заменить самими функциями u и v (то есть, «производными нулевого порядка»).

Применение производных к исследованию свойств функций.

Из этих определений следует, что для возрастающих функции sign(y)=sign(x), в силу чего их отношение положительно:

Если функция на переходит от возрастания к убыванию, или наоборот, ее называют колеблющейся на (a,b).

Значения x, при которых f(x) достигает своих наибольших или наименьших значений по сравнению с соседними, называют точками максимума и минимума.

Аналогично определяются точки максимума и минимума функции

Точки минимума и максимума объединяются под общим названием – точки экстремума (экстремальные точки), а минимум и максимум функции – экстремумы функции.

Экстремумы функции, определенные выше, часто называют строгими экстремумами, в отличие нестрогих

Таким образом понятия максимальной и минимальной функции носят локальный (местный) характер. Далее мы установим признаки возрастания и убывания функций и признаки экстремума функций, основанные на понятии производной.

Пусть x>0  , переходя к пределу при x+0 получим: , как предел неположительной величины.

b) x<0 

Так как для дифференцируемой в x₀ функции производная слева равна производной справа  f(x₀)=0, теорема доказана.

Аналогично проводится доказательство и для x₀ - точки минимума, и для случая строгих неравенств.

Геометрический смысл очевиден: касательная к графику f(x) в точке экстремума, в которой f(x) дифференцируема, параллельна оси OX.

Если же f(x)c будучи непрерывной на [a,b], она достигает своих наибольших и наименьших значений – M и m (см. свойства непрерывной функции). При этом возможны 3 случая:

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы Ролля на графике f(x) найдется хотя бы одна точка x₀, касательная в которой будет параллельна оси ОХ.

Нарушение хотя бы одного из условий ведет к нарушению вывода из теоремы.

В частном случае, когда f(a)=f(b)=0 теорема Ролля имеет очень полезное для приложений толкование: Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда заключен по крайней мере один нуль ее производной, то есть эта точка может оказаться max или min.

- конечное значение, т.к. (b)(a)

Тогда хотя бы в одной точке c(a,b) F(c)=0  

(*) т.е.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа определяется формулой (*) . В ней левая часть есть угловой коэффициент хорды MN, соединяющей концы графической функции

РИСУНОК

Таким образом, на произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется хотя бы одна точка, в которой касательная будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.

Тот же геометрический смысл можно придать и теореме Коши, если рассматривать y=f(t) и x=(t) как параметрические уравнения кривой в плоскости XOY, а x считать параметром этой кривой.

Раскрытием неопределенности в математическом анализе называют нахождение предела , когдаf(x) непрерывна вблизи a, но не определена в самой этой точке, а непосредственная подстановка в функцию x=a приводит к выражению неопределенного вида

, , 0, -, 1  ,0  , 0 .

Опираясь на теорему Коши, выведем правило Бернулли-Лопиталя для раскрытия неопределенностей, используя производные.

и ,

раскрытие которых сводится к нахождению предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин. Остальные виды сводятся к двум последним.

Рассмотрим неопределенность (приxa), требуется найти , когда и . Примем f(a)=(a)=0. Тогда f(x) и (x) будут непрерывными в x=a. Предположим также, что f(x) и (x) дифференцируемы вблизи x=a причем (a)0. В этом случае:

, (L - конечно или нет)

, где c(x₀,a)

то есть в данном случае правило Бернулли-Лопиталя выполняется.

Примеры:

Неопределенность (x). Докажем справедливость правила Бернулли-Лопиталя и в этом случае.

Итак требуется найти , еслии .

Предположим, что для достаточно больших x (|x|>M) обе функции дифференцируемы, (x)0 и что существует (конечный или бесконечный) .

Доказательство. Перейдем к новому аргументу . Тогда, x  u0. Нетрудно видеть, что к отношению правило Бернулли-Лопиталя применимо: в окрестности u=0 f и  дифференцируемы, а и существует

Пример. .

3. Неопределенность (xa). Пусть теперь нужно найти , если .

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) , то

c[x₁,x₂]

Далее пусть

или

Заменяя в этом неравенстве отношение производных отношением конечных приращений функций, получим

(1)

Если теперь x₂a, не изменяя x₁, то, так как ,

или

Перемножая теперь почленно неравенства (1) и (2) (что возможно , так как все члены неравенства (2) положительны), получим

и

Другими словами разность между и постоянной A будет бесконечно малой величиной.

Следовательно и следовательно

(3)

Пусть теперь . Тогда f(x)0 в некоторой малой окрестности a (иначе не было бы бесконечно большой величиной). С другой стороны, а поэтому к обратному отношению применимо предыдущее правило:

Из последней формулы вытекает справедливость и формулы (3).

Пример.

4. Неопределенность (x). Правило применимо, если f(x) и (x) дифференцируемы при любом x, |x|<M, причем (x)0 и при условии, что существует (конечный или бесконечный) .

Для доказательства достаточно перейти к новому * и использовать правило для случая 3.

Пример. .

Правило Бернулли-Лопиталя иногда приходится применять несколько раз, если появляется неопределенность в отношении . Для этого необходимо соблюдение условий применимости теоремы Коши к производной

Примеры 1) 3 раза правило Бернулли-Лопиталя

2) . n раз правило Бернулли-Лопиталя

Примение правила Лопиталя к раскрытию неоределенности

0, -, 1  ,0  , 0 покажем на примерах. Идея - эти неопределенности сводятся в виду или, а в последних 3-х случаях с применением логарифмирования.

Пример 1.

Представим в виде: (x k – бесконечно малая величина,  - бесконечно большая величина)  . x0

Пример 2.  -, но

, применяя правило Лопиталя, получим:

Пример 4.

Правило Лопиталя не применимо, если не существует . Однако это еще не означает, что не существует. Просто в этом случае правило Лопиталя нельзя использовать.

Пример. , тогда как .

Определения возрастания и убывания функций было дано ранее.

Подпрограмма фортран subrouting примеры