Деньги настолько прочно вошли в нашу жизнь, что все мы — вне зависимости от возраста, пола и способа получения дохода время от времени попадаем в ситуации, когда мы вынуждены принимать решения, требующие финансовых расчетов. И тогда от нашей способности оперировать конкретными финансовыми категориями зависит, насколько выгодным будет выбранный нами вариант. В данной статье мы рассмотрим основные категории финансовой математики и покажем, как с их помощью принимать верные решения в самых различных ситуациях.

Проценты. Сложные проценты. Капитализация процентов (Compaunding)

Процентами называют доход, полученный в качестве платы за предоставление денег в долг в любой форме. Проценты могут выражаться в абсолютной и относительной форме. Абсолютная форма — это конкретная сумма за определенный период. Относительная — в виде процентной ставки, привязанной к оговоренному периоду (год, месяц или день). Чтобы рассчитать наращенную сумму (S), под которой мы будем понимать основную сумму плюс накопленные проценты, необходимо воспользоваться следующей формулой:

где P — сумма, на которую начисляется процент, i — процентная ставка, N — количество периодов начисления.

Вы предоставили знакомому заем в размере 10,000$ на 3 месяца, по условиям которого он обещает выплачивать вам 2% в месяц. Необходимо рассчитать сумму, которую вы получите в конце срока пользования займом. Получаем 10,000 * (1 + 2% * 3 ) = 10,600$.

Часто можно встретить ситуацию, когда проценты не выплачиваются, а присоединяются к вложенной сумме и с нового периода начисление производится уже на сумму с учетом присоединенных ранее процентов. Такой процент называется сложным, а процесс начисления процентов на процент — капитализацией процентов. В случае сложного процента наращенная сумма рассчитывается по-другому:

где значение букв то же, что и в формуле выше, а знак «^» означает возведение в степень.

В чем отличие сложных и простых процентов? Если рост простых процентов происходит линейно (на одинаковую сумму каждый период), то сложные проценты растут экспоненциально (каждый последующий период сумма процентов больше, чем в предыдущий). Благодаря данному эффекту сумма, размещенная под сложный процент на длительный срок, многократно превосходит рост суммы, размещенной под простой процент. Ниже приведены результаты роста депозита (6% годовых) при простом и сложном проценте. Если в первое время разница остается небольшой, то в последствии одна достигает критического значения. Так, на 80 год на депозит с простым процентом достигнет 58,000$, в то время как депозит со сложным — 1,057,960$.

В практике часто встречается практика, при которой период начисления процентов отличается от целого числа. В такой ситуации, формула расчета наращенной суммы при простом проценте приобретает вид:

Также встречаются ситуации, когда процентная ставка выражается в годовых, но начисление процента происходит ежемесячно. В таких случаях формула расчета наращенной суммы (как правило, в данном случае используются сложные проценты) будет иметь вид:

И напоследок обратим внимание, что вне зависимости от вида процента, все формулы по расчету наращенной суммы можно привести к общему виду:

Концепция процентов, которую мы рассмотрели выше, отражает временную стоимость денег. Иными словами, в силу того, что деньги, которыми мы владеем сегодня, завтра могут принести нам доход в результате их размещения под определенный процент, будущие денежные поступления имеют меньшую текущую стоимость. На этом принципе основывается математическая операция, которая получила название дисконтирование. Дисконтирование означает приведение будущих платежей к текущей стоимости и по смыслу является операцией, обратной наращению процентов. То есть дисконтирование рассматривает будущие платежи как наращенную сумму (S) и задача инвестора рассчитать их текущую стоимость (P) из расчета доступной ему процентной ставки (i). В зависимости от вида процента, формула дисконтирования будет иметь следующий вид: или

Задача дисконтирования показать нам, сколько деньги, которые мы получим в будущем, стоят сегодня, чтобы не переплатить за будущие платежи с точки зрения доступной нам инвестиционной альтернативы. Рассмотрим несколько распространенных операций, в которых применяется дисконтирование.

Приобретение потока будущих платежей (учетные операции)

К приобретению предлагается облигация номинальной стоимостью 1000$ с процентной ставкой 6% годовых, выплата процентов по которой производится ежеквартально, а погашение — в конце года. Задача — рассчитать текущую стоимость обязательства из расчета учетной ставки 15% годовых.

Рассчитаем ежеквартальный процентный доход и построим в программе Excel таблицу денежных потоков. Найдем значение текущей стоимости с помощью встроенной формулы ЧПС. Таким образом, при учетной ставке в 15% годовых, текущая стоимость данного финансового обязательства равно 916,22$

Стороны согласовывают условия по оплате офисного помещения. Цена помещения — 24,000$. Продавец согласен на рассрочку платежа на следующих условиях: 8,000$ сразу, остальное равными частями в течение 4 месяцев. Однако он готов рассмотреть и больший срок рассрочки, если продавец предложит ему большую сумму за продаваемое помещение.

Отразим первоначальные условия рассрочки в виде таблицы в программе Excel. Смоделируем в этой же таблице предложение с нарастающими ежемесячными платежами, по итогу которых цена помещения возрастет до 24,400$. Рассчитаем текущую стоимость каждого варианта для сопоставления их эквивалентности из расчета процентной ставки, равной 10% годовых. Из расчета видно, что второй вариант даже при условии более высокой цены покупки более выгоден для покупателя, чем первый

Вы открыли банковский вклад 10,000$ на 12 месяцев под 10% годовых. Сколько денег вам необходимо положить на счет на 14 месяц, чтобы через 3 года у вас было на счету 15,000$.

Представим задачу в виде консолидации платежей, где существующий вклад будет выражен в виде положительного числа, а ожидаемая в будущем сумма — отрицательного. Учитывая, что процент начисляется по ставке сложного процента, получим следующий расчет 10,000 * (1 + 10% / 12 ) ^ (14-0) — 15,000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11,232 — 12,496 = -1,264$.

В бизнесе и инвестировании часто встречаются ситуации, когда инвестору известны будущие платежи и сумма вложений, и ему необходимо рассчитать коэффициент наращения, при котором сумма будущих платежей, приведенных к текущей стоимости, будет численно равна сумме вложений. Коэффициент наращения, для которого выполняется данное условие, называется внутренней ставкой доходности (ВСД, в англ. — IRR, internal return of return). Для расчета внутренней ставки доходности применяется встроенная функция программы Excel — ВСД.

Инвестор рассматривает инвестиционное предложение, которое представляет собой долевое участие в открытие пиццерии (см. здесь). Нам известны: а) сумма запрашиваемых инвестиций; б) финансовый план (прогноз денежных потоков); в) схема по распределению денежных потоков. Резюме инвестиционного предложения (см. таблицу) содержит 6 вариантов доходности. Необходимо определить общую доходность инвестиционного предложения для сравнения с иными вариантами инвестиций.

2) Для получения годовой ставки ВСД полученное значение умножаем на 12.

Поток платежей, все составляющие которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют аннуитетом или финансовой рентой. Например, аннуитетом является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, регулярные взносы по договорам накопительного страхования, выплата пенсий. Аннуитеты характеризуются следующими параметрами: 1) величиной каждого отдельного платежа; 2) интервалом между платежами; 3) продолжительностью платежей (бывают вечные анну­итеты); 4) процентной ставкой. В силу сложности расчетной формулы, для расчета различных составляющих аннуитета лучше всего использовать встроенные формулы программы Excel. Рассмотрим основные из них.

При расчете кредита используются формулы ПЛТ (рассчитывает сумму ежемесячного платежа), ОСПЛТ (рассчитывает сумму погашения основного долга в составе конкретного ежемесячного платежа), ПРПЛТ (рассчитывает сумму процентов в составе конкретного ежемесячного платежа).

Необходимо рассчитать ежемесячный платеж и составить график платежей по кредиту, сумма 10,000$, процентная ставка 20%, срок — 20 месяцев.

Для расчета платежа используем формулу ПЛТ. На место процентной ставки подставляем ежемесячное значение (годовое значение, деленное на 12), в качестве приведенной стоимости указываем сумму кредита, будущая стоимость — указываем 0. Те же значения используем для формул ОСПЛТ и ПРПЛТ, в которых меняется только порядковый номер периода. Полученные значения представим в виде таблицы:

Та же формула ПЛТ может использоваться для расчета ежемесячных взносов для накопления суммы к заданному моменту времени. Для этого на место приведенной стоимости ставим сумму первоначального взноса, а на место будущей стоимости — необходимую сумму.

Вам 25 лет. Вы открыли пенсионный накопительный счет с процентной ставкой в размере 6% годовых и положили на него ваши накопления в размере 10,000$. Рассчитаем размер ежемесячного платежа, который вам необходимо откладывать на счет, чтобы к 45 годам получить сумму в размере 100,000$.

Используем функцию ПЛТ. В качестве процентной ставки указываем 6% / 12, количество периодов — 20 * 12, приведенная стоимость — 10,000$, будущая стоимость — 100,000$. В данном случае заполненная формула будет выглядеть так =ПЛТ(6%/12;20*12;10000;100,000). Получаем сумму ежемесячного взноса в размере 288$.

Как вы заметили, в вышеуказанных примерах мы рассчитывали сумму ежемесячного платежа, иные параметры аннуитета нам были известны. Excel позволяет нам рассчитать и иные параметры аннуитета — приведенную стоимость, будущую стоимость, количество периодических платежей. Разберем на примерах как работают эти формулы.

К 10-летию сына вы решили открыть накопительный счет, чтобы его 18-летию накопить на нем 10,000$. Какой первоначальный взнос вам необходимо внести на данный счет, если планируемые ежемесячные взносы составляют 50$?

Используем функцию ПС. В качестве процентной ставки указываем 6% / 12, количество платежей 8 * 12, периодический платеж — 50$, будущая стоимость — минус 10,000$. В данном случае заполненная формула будет выглядеть так =ПС(6%/12;8*12;50;-10000). Полученное значение первоначального взноса — 2390$.

Отрицательное значение в формулах ПС и БС означает «я получу», положительное — «я плачу».

Пример расчета будущей стоимости и количества платежей