В основе математики лежит понятие множества. Природа элементов абстрактного множества нас не интересует. От элементов требуется только одно, чтобы они подчинялись заданной системе аксиом. Ценность формального определения состоит в том, что оно выявляет общие свойства совершенно, казалось бы, различных математических объектов. Например, числовые множества имеют одинаковые алгебраические свойства. Напомним эти множества.
Натуральные числа.Леопольд Кронекер когда-то произнес: «Натуральное число создал господь Бог, все прочие – дело рук человеческих». Натуральный ряд – это числа 1, 2, 3 и т.д. до бесконечности. Обозначение натурального ряда: 
.
Целые числа – это числа вида n, –n и 0, где n – натуральное число. Все целые числа можно записать так: …, –2, –1, 0, 1, 2, … Отсюда следует, что любое натуральное число является также и целым. Обозначение: 
.
Рациональные числа – это числа вида p/q, где p и q – целые числа, причем q ≠ 0. Обозначение: 
. Очевидно, что любое целое число является рациональным.
Действительные или вещественные числа (или континуум)получают из рациональных чисел с помощью некоего предельного процесса. Это наши обычные числа. Обозначение: 
. Рациональное число всегда действительное. Таким образом,
.
Иррациональные числа. Любая обыкновенная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот, любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. А какой смысл могут иметь бесконечные непериодические дроби?
Легко показать, что никакая дробь p/q не может быть корнем уравнения x 2 – 2 = 0. Таким образом 
не является рациональным числом, то есть бесконечной периодической десятичной дробью. Действительные, но не рациональные числа называются иррациональнымичислами. Обозначение: J.
Комплексные числа.Не каждый многочлен с целыми коэффициентами имеет корни среди действительных чисел, например, квадратный двучлен x 2 + 1. Добавим к действительным числам некое число i, квадрат которого равен –1: i 2 = –1. Число i = 
называется мнимой единицей.
Полученный таким образом набор чисел вместе с результатами арифметических операций над ними называется комплексными числами:
.
Комплексные числа записывают в виде z = x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица.
Комплексно сопряженныминазываются числа, отличающиеся только знаком своей мнимой части z * = x – iy.
Действительные числа – частный случай комплексных при y = 0. Не действительные числа, т. е. комплексные при y ≠0, называются мнимыми.
Любой многочлен с коэффициентами из 
имеет корень в 
.
Комплексные числа наглядно изображают на координатной плоскости: на горизонтальной оси лежат вещественные числа Re z, а на вертикальной – мнимые числа Im z.
Модуль числаz равен расстоянию точки, изображающей это число от начала координат 
.
Для комплексных чисел следующим образом определены операции сложения и умножения:
Частное комплексных чисел равно комплексному числу
.
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:
Существует три формы представления комплексного числа z=(x,y):
Здесь символ exp(iφ) обозначает комплексное число (cosφ+i sinφ), φ называется аргументом (аrg z) комплексного числа и является решением системы уравнений
Все аргументы различаются на целые кратные 2p и обозначаются единым символом Arg z.
Комплексные числа часто встречаются в качестве корней полиномов.
Многочленом (полиномом)n-й степени называется выражение вида: 
,
где 
Два многочлена 
и 
равны, если
.
Существуют единственные многочлены 
и 
такие, что
или 
,
здесь 
– ненулевой многочлен; 
или 
; 
.
называют частным от деления 
на 
, а 
– остатком.
Если 
, то 
делится на 
без остатка.
Число 
называется корнем многочлена 
, если 
.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на 
равняется значению этого многочлена в точке 
.
Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Всякий многочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень.
Пример 2. Решить уравнение z 3 = 1. Найти модули корней. Отобразить на декартовой плоскости решение уравнения.
Здесь 
– мнимая единица.
С помощью системы координат удается отождествить вектор или (точку) на плоскости с упорядоченной парой действительных чисел, а в пространстве – с тройкой чисел. Современная физика имеет дело с четырехмерным пространством, где четвертая координата – время. Отвлекаясь от реальных геометрических представлений, можно рассмотреть упорядоченный набор из nдействительных чисел 
и по аналогии назвать его n-мернымвектором. Числа 
называются координатами вектора 
. Количество координат вектора называется размерностью.
Можно исходить и из понятия множества. Декартово произведение множества действительных чисел Rсамо на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар и его можно отождествить с плоскостью. Это множество обозначают R 2 . Множество R´R´R = R 3 состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение Rсамо на себя n раз, то получим совокупность всех n-мерных векторов – пространствоR n .
Чтобы работать с математическими объектами, необходимо определить операции над ними. Операции над n-мерными векторами вводятся по аналогии с обычными и обладают теми же алгебраическими свойствами. Напомним их:
; 
;
; 
Всякое множество, для элементов которого определены операции сложения и умножения элементов на число таким образом, что выполняются вышеперечисленные свойства, называется векторным пространством.
пусть 
. Тогда
Скалярным произведениемдвух векторов называется число
.
Аналогично длине вектора в трехмерном пространстве определяется норма вектора 
в R n - пространстве:
Система векторов 
будет называться линейно зависимой, если найдется набор чисел l1, l2,…, lk, не все из которых равны нулю, такой, что выполняется равенство
.
В противном случае (т.е. 
) система 
называется линейно независимой.
Два ненулевых вектора на плоскости линейно независимы тогда и только, когда они неколлинеарны.
Вообще, любые n+1 векторов пространства R n линейно зависимы. Так, легко проверить, что система векторов
Пусть 
– произвольный вектор. Тогда, очевидно, справедливо равенство
Говорят, что вектор 
разложен по векторам 
Эта система векторов называется базисом пространства R n .
Любые n линейно независимых векторов R n образуют базис, причем любые m < n линейно независимых векторов базиса R n не образуют. Таким образом, минимальное количество векторов, которые могут составить базис R n , равно n.
Пусть задано 4 вектора 
в декартовой системе координат. Тогда вектор 
в базисе 
может быть представлен в виде: 
.
Если расписать это векторное равенство, то получим систему линейных алгебраических уравнений
По правилу Крамера (см. параграф ниже) можно найти коэффициенты разложения 
; i = 1, 2, 3.
Умножения и деления примеры