Алгоритм умножения - раздел Образование, Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы Умножение Однозначных Чисел Можно Выполнить, Основываясь На Определении Этого.
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.
Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по - особому, поместив единицы числа 2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 - это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.
Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:
- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;
Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное.
Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4 ×10 2 + 2 ×10 + 8 и тогда 428×3 = (4×10 2 + 2 ×10+ 8)×3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4 × 10 2 + (2×10)×3 + 8 ×3. Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12×10 2 + 6 ×10 + 24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12×10 2 + 6 ×10 + 24 - коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 ·10 + 2, а число 24 в виде 2·10 + 4. Затем в выражении (1·10 + 2) ·10 2 + 6·10 + (2·10 + 4) раскроем скобки: 1·10 3 +2·10 2 +6·10+2·10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6·10 и 2·10 и вынесем 10 за скобки: 1·10 3 + 2·10 2 + (6 + 2) ·10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1 · 10 3 + 2·10 2 + 8 ·10 + 4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т. е. 428·3 = 1284.
Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:
Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде.
Пусть требуется умножить х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 на однозначное число у:
х × у = (аn × 10 n + аn – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0) × у = (аn × у) × 10 n +( аn – 1 × у) × 10 n – 1 + … + а0 × у причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения аk × у, где 0 £ k £ n, соответствующими значениями аk × у = b k ×10 + с и получаем: х× у = (bп×10 + сп ) + (bп - 1×10+ сп - 1 ) ×10 п - 1 + . +(b1×10 + с1 ) ×10 + (b0×10 + с0) = bп ×10 п + 1 + (сп + bп - 1) ×10 п + . + (с1 + b0) ×10 + с0. По таблице сложения заменяем суммы сk + bk - 1, где 0 £ k £ n и k = 0, 1, 2, . n, их значениями. Если, например, с0 однозначно, то последняя цифра произведения равна с0 . Если же с0 = 10 + m0, то последняя цифра равна m0 , а к скобке (с1 + b0) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х × у.
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем видеалгоритм умножения многозначного числа на однозначное число у.
2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Еслипроизведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).
3. Если произведение цифр единиц числа х на число у большеили равно 10, то представляем его в виде 10q1 + с0, где с0 – однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 - перенос в следующий разряд.
4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляемк полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный пп. 2 и 3.
5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.
Как известно, умножение числа х на число вида 10 k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это. Умножим число х = аn × 10 n + аn – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 на 10 k : (аn × 10 n + аn – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0) × 10 k = аn × 10 n+ k + аn – 1 × 10 n+ k – 1 + …+ а0 × 10 k . Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа , так как равно an × 10 n+ k + аn – 1 × 10 n+ k – 1 + …+ а0 × 10 k + 0 ×10 k -1 + 0× 10 k –2 + …+ 0× 10 + 0.
347·10 3 =(3·10 2 +4·10+7)·10 3 =3·10 5 +4·10 4 +7·10 3 =3·10 5 +4·10 4 +7·10 3 +0·10 2 +0·10+0= =347000
Заметим еще, что умножение на число у× 10 k , где у – однозначное число сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 k . Например, 52×300 = 52×(3×10 2 ) = (52×3) ×10 2 = 156×10 2 = 15600.
Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428×263. Представим число 263 в виде суммы 2×10 2 + 6×10 + 3 и запишем произведение 428×(2×10 2 + 6×10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428×(2×10 2 ) + 428×(6×10) + 428×3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428×2) ×10 2 + (428×6) ×10 + 428×3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.
Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде.
Пусть х и у - многозначные числа, причем у = bm × 10 m + bm – 1 × 10 m – 1 + …+ b0. В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать:
Сформулирует в общем виде алгоритм умножения числа х = на число у = .
1. Записываем множитель х под ним второй множитель у.
2. Умножаем число х на младший разряд b0 числа у и записываем произведение х × b0 под числом у.
3. Умножаем число х на следующий разряд b1 числа у и записываем произведение х × b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х × b1 на 10.
4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х × bk.
Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:
428 × 3 = (400 + 20 + 8) × 3 == 400× 3 + 20× 3 + 8× 3 == 1200 + 60 + 24 = 1284.
- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);
- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);
- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чиселна однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.
При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом Поэтому к системе аксиом предъявляются. Система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически. Если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Алгоритм умножения
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматик
1. Назовите виды множеств, дайте им характеристику. Какие можно производить операции над множествами? 2. Что такое «число», «цифра», «счет»? 3. В чем связь и различие счета и изме
Основная литература[17, 18, 23, 33, 34]; Дополнительная литература [4, 29, 34, 55] Введение. Введя понятие отрезка натурального ряда, мы выяснил
Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В - 4 элемента и пересечен
В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а. Вычитание целых неотрицательных чисел определяет
Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определ
В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а× b = с, то, зная произведение с
Содержание 1. Позиционные и непозиционные системы счисления. 2. Запись числа в десятичной системе счисления. Основная литература [17, 18, 33, 34, 35];
Называть числа и вести счет люди научились еще до появления письменности. В этом им помогали, прежде всего, пальцы рук и ног. Издревле употреблялся еще такой вид инструментального счета, как деревя
Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образую конечные последовательности, которые являются краткими записям
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел,
Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел
1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры умен
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти
1. Если а =b, то частное q = 1, остаток r = 0. 2. Если а >b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
4. Простые числа. 5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел. Основная литература [7, 9-13, 23, 33, 34]; Дополнительн
Определение.Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq. В этом случае чис
Рассмотренные в свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3, 4, 5, 9. Признаки делимости позволя
Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив все доказательства
Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные числа. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифмет
Рассмотрим сначала способ, основанный на разложении данных чисел на простые множители. Пусть даны два числа 3600 и 288. Представим их в каноническом виде: 3600 = 24×3
Содержание 1. Понятие дроби. 2. Положительные рациональные числа. 3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. 4. Действительные ч
Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалос
Отношение равенства является отношением эквивалентностинамножестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные междусобой дроби. На
("а, b Î Q+) а + b= b + а; ("а, b, с Î Q+) (а + b)+ с = а + (b+ с) Прежде чем сформулировать определе
Впрактической деятельности широко используются дроби, знаменатели которых являются степенями 10. Их называют десятичными. Определение. Десят
Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.
8. Отношения «больше на» и «меньше на». 9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. 10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.
27. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. 28. Действительные числа. МОДУЛЬ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧ
Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»: 1) Многие окружающие нас предметы имеют длину. 2) Стол имеет длину. В первом предложении утверждается,
Жирных б г инженерная графика