Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов.

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

2) Члены ряда убывают по модулю: . Причём, убывают монотонно.

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Модуль общего члена ряда стремится к нулю:

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Исследовать ряд на сходимость

В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел , который чаще всего является очень простым.

– члены ряда не убывают по модулю. К слову, отпала надобность в рассуждениях о монотонности убывания.

Как разобраться, чему равно ? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить , нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда . Тупо убираем «мигалку»: .

Исследовать ряд на сходимость

1)

2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , таким образом, убывание монотонно.

Однако это еще не всё! Сходимость бывает разной. А именно:

– сходящийся ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд ;

в противном случае ряд сходится условно.

! Из вышесказанного очевидно следует, что любой сходящийся положительный ряд является абсолютно сходящимся.

Поэтому в типовом задании, как правило, нужно провести второй этап решения. . Не виноватый я – такая уж теория и практика числовых рядов =)

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:

– расходится (гармонический ряд) – тут даже без исследования обошлось.

Таким образом, наш ряд сходится условно.

Следует отметить, что при формулировке «Исследуйте ряд на сходимость» можно рискнуть и ограничиться признаком Лейбница (т.е. просто констатировать сходимость), но таки лучше не лениться – с большой вероятностью вас попросят уточнить, сходится ли ряд абсолютно или условно.

Заметьте также, что в Примере №1 второй этап по-любому отпадает, поскольку еще на первом шаге сделан вывод о том, что ряд расходится.

Собираем ведёрки, лопатки, машинки и выходим из песочницы, чтобы смотреть на мир широко открытыми глазами из кабины моего экскаватора:

Исследовать ряд на сходимость

1)

2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , значит, убывание монотонно.

Теперь выясним, как именно. Для этого составим и исследуем соответствующий ряд из модулей:

Анализируя начинку, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом .

Таким образом, ряд сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость

Исследовать ряд на сходимость

Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока.

Как видите, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно! Но не спешите закрывать страницу, всего через пару экранов мы рассмотрим случай, который многих ставит в тупик. А пока еще пара примеров для тренировки и повторения.

Исследовать ряд на сходимость

Члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.

Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но от непреодолимой лени в «тяжелых» случаях можно ограничиться фразой «Ряд является знакочередующимся». Кстати, не нужно относиться к этому пункту формально, всегда проверяем (хотя бы мысленно) что ряд действительно знакочередуется. Беглый взгляд подводит, и ошибка допускается «на автомате». Помните об «обманках» , , , если они есть, то от них нужно избавиться, получив «обычный» ряд с положительными членами.

Вторая тонкость касается фразы про монотонность, её я тоже максимально сократил. Так делать можно, и почти всегда вашу задачу зачтут. Скажу совсем нехорошую вещь – лично я часто вообще умалчиваю о монотонности, и такой номер проходит. Но будьте готовы всё расписать детально, вплоть до подробных цепочек неравенств (см. пример в начале урока). Кроме того, иногда монотонность бывает нестрогой, и за этим тоже нужно следить, чтобы заменить слово «меньше» на слово «не больше».

Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, ряд сходится.

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Хммм… что-то я немного погорячился на счет простоты.

Нередко встречаются знакочередующиеся ряды, которые вызывают затруднения.

Исследовать ряд на сходимость

2)

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Если числитель при растёт быстрее факториала, то . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?

Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа, для того она и существует:

– Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, иными словами: или . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста, чем любая показательная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, иными словами: или . Вместо можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай).

– Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например: , . Показательная последовательность более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов: .

– А есть ли что-нибудь «круче» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность («эн» в степени «эн») растёт быстрее факториала. На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Таким образом, второй пункт исследования (вы еще об этом помните? =)) можно записать так:

2) , так как более высокого порядка роста, чем .

Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.

Вот здесь как раз тот любопытный случай, когда члены ряда сначала растут по модулю, из-за чего у нас сложилось ошибочное первоначальное мнение о пределе. Но, начиная с некоторого номера «эн», факториал обгоняет числитель, и «хвост» ряда становится монотонно убывающим, что и позволяет применить признак Лейбница. Чему конкретно равно данное «эн», выяснить достаточно трудно.

А тут уже работает старый добрый признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Теорема: если ряд сходится, то сходится и ряд

Исследовать ряд на сходимость

Решение: исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:

Таким образом, ряд сходится, а значит, по соответствующей теореме, сходится и исследуемый ряд, причём, ясно как день – абсолютно.

Вывод: ряд сходится абсолютно.

Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит хитро… смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует. Ибо условие не предписывает использовать именно признак Лейбница (но обычно это всё же подразумевается).

И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости.

Исследовать ряд на сходимость

Исследовать ряд на сходимость

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее монотонны и однообразны интересны.

1)

Примечание: В данном примере неопределенность устраняется стандартным способом: делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Старшая степень числителя: 1, старшая степень знаменателя:

1)

2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , значит, убывание монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница. С помощью ряда, составленного из модулей, выясним как именно:

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:

– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Ряд сходится условно.

1)

2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.

Таким образом, ряд сходится.

Ряд сходится абсолютно.

Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним какие-нибудь соседние члены ряда:

и , следующий член ряда к предыдущему:

и , следующий член ряда к предыдущему:

1)

2) – так как более высокого порядка роста, чем

Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.

Таким образом, ряд – сходится.

1)

2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Рабочая тетрадь по статистике с ответами