,

Для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

Таким образом, суммой двух матриц A и B является матрица:

Ответ:

Матрица

Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.

Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица:

Ответ:

Матрица ;

Матрица .

Каждый элемент матрицы С = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Строки матрицы А умножаем на столбцы матрицы В и получаем:

Ответ:

Матрица .

Транспонирование матрицы А заключается в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через A T

Ответ:

Матрица .

. det A = 5 ≠ 0.

Составляем вспомогательную матрицу A V из алгебраических дополнений A_ij: .

.

Каждый элемент, полученной матрицы, делим на на det A:

Ответ:

Матрица .

Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров M_k этой матрицы. Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.

M 3 ₂≠0;

.

Матрица .

Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число, которое называется ее определителем и обозначается det А или |А|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется через ее элементы, по следующей формуле:

Тогда, для данной в примере матрицы A, определитель |A| будет равен:

Матрица .

Минор и алгебраическое дополнение элемента a₂₁ определителя |A| матрицы A.

Запишем определитель матрицы A: .

Минор элемента a₂₁ определителя |A|- это определитель, который получится из данного вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используют обозначение Δ₂₁.

Алгебраическое дополнение A₂₁ элемента a₂₁ в определителе — это число, которое вычисляется по правилу: A_ij = (-1) i+j · Δ_ij, где Δ_ij — соответствующий минор. Тогда, подставив данные в формулу, получим:

Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Составляем матрицу A из коэффициентов данной системы уравнений — основную матрицу системы:

Составляем матрицу B из свободных членов данной системы уравнений — матрицу-столбец свободных членов:

Условие Δ ≠ 0 выполняется, значит система совместна и определена, причём единственное решение вычисляется по формулам Крамера:

Δ₁ — 1-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 1-го столбца на столбец свободных членов:

Δ₂ — 2-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 2-го столбца на столбец свободных членов:

Δ₃ — 3-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 3-го столбца на столбец свободных членов:

Подставив полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:

Ответ: .

Составляем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей:

(A|B)=

Приведём расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатому виду.

Из второй строки вычитаем первую строку, умноженную на четыре:

Из третьей строки вычитаем первую строку, умноженную на два:

Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на :

Полученной диагональной матрице соответствует эквивалентная система:

Ответ: .

Координаты вектора

— ?

Начало вектора совпадает с точкой А, конец – с точкой В. Находим координаты вектора :

Ответ:

Вектор: .

Направляющие косинусы вектора .

— ?

Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:

Ответ:

Вектор: .

Длину вектора .

— ?

Определяем длину вектора :

Ответ:

Координаты векторов:

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:

Координаты векторов:

Объем пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору .

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору .

В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор = 2-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁> = <9-7, 7-8, 4-(-1)>= <2, -1, 5>.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно вектору = <A, B, C>, имеет вид .

Составляем уравнение плоскости с нормальным вектором = <2, -1, 5>, проходящей через точку M₀(2, 5, -3):

.

Ответ: .

Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость?

Отрезки, которые отсекает на осях координат плоскость.

Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:

Уравнение — это уравнение плоскости «в отрезках». Параметры представляют собой координаты точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до знака) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях.

Применяя вышеприведенное к уравнению 2x – 4y + 6z –12 = 0, получим:

.

Отрицательный знак перед b показывает, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.

Задача 1. Составить канонические уравнения прямой:

Для составления канонического или параметрического уравнения прямой в пространстве, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного прямой.

Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n₁ и n₂ к данным плоскостям. В таком случае он коллинеарен векторному произведению [n₁, n₂].

Найдем точку, лежащую на данной прямой, у которой одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда остальные две координаты можно определить из системы уравнений, задающей пересекающиеся плоскости.

x₀ = -4; y₀ = 11; A = <4; 11; 0>.

.

Ответ: .

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую k:

и точку B = <2; -3; 1>.

Так как точка А = <-3,5,-1>принадлежит плоскости, значит вектор AB параллелен плоскости.

Так как данная прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости.

Значит, нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.

Так как прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 из уравнений прямой получаем:

— координаты точки А, принадлежащей прямой и соответственно плоскости.

Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Значит, нормаль n к плоскости коллинеарна векторному произведению [a, AB] = (-6; -9; -21).

Примем n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:

Предположим, что какая нибудь, находящаяся на плоскости точка N, имеет координаты (x, y, z). Для этого случая уравнение плоскости примет вид:

базисные векторы (смотрите рисунок) соответственно равны и .

Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:

Ответ:

Темы рефератов по базам данных
Первичная учетная документация по валютному контролю включает