Учебные планы студентов по НАЧЕРТАТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Предмет и задачи начертательной геометрии. Основные понятия, символы и обозначения. Основные свойства проективного пространства. Метод проекций. Инвариантные свойства ортогонального проецирования. Проецирование точки на две плоскости проекций. Проецирование точки на три плоскости проекций.

Прямая общего положения. Задание прямой на чертеже. Принадлежность точки прямой. Следы прямой. Прямые частного положения. Определение длины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций. Взаимное положение прямых.

Плоскость общего положения. Задание плоскости на чертеже. Следы плоскости. Точка и прямая в плоскости. Прямые линии особого положения в плоскости. Плоскости частного положения. Взаимное положение прямой и плоскости и двух плоскостей. Пересечение плоскостей. Пересечение прямой и плоскости.

Лекция 4. Способы преобразования ортогональных проекций

Способ замены плоскостей проекций. Способ вращения вокруг проецирующей прямой. Способ вращение вокруг прямой уровня. ОЛ-1 гл. 2.

Понятия и определения. Инвариантные свойства проецирования линии. Ортогональные проекции линии. Касательная и нормаль к плоской кривой. Кривизна плоской кривой. Цилиндрическая винтовая линия.

Поверхность. Понятия и определения. Образование. Определитель. Классификация. Линейчатые поверхности. Поверхности параллельного переноса. Поверхности вращения. Винтовые поверхности. Точка и линия на поверхности.

Построение линии пересечения поверхностей, одна из которых занимает проецирующее положение. Конические сечения. Построение линии пересечения поверхностей общего положения. Алгоритм решения. Применение вспомогательных плоскостей при построении линии пересечения поверхностей. Применение вспомогательных сфер при построении пересечения поверхностей. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка. Теорема Монжа.

Плоскость касательная к поверхности. Различные случаи касания плоскости и поверхности. Нормаль к поверхности. Конус касательных и конус нормалей к поверхности вращения.

Пересечение линии и поверхности, когда одна из геометрических фигур – проецирующая. Пересечение линии и поверхности, когда обе геометрические фигуры – общего положения. Алгоритм решения. Определение точки пересечения прямой с цилиндрической поверхностью с использованием вспомогательной проецирующей плоскости и вспомогательной плоскости общего положения. Развертки поверхностей. Понятия и определения.

Проецирование точки. Метод проекций. Инвариантные свойства ортогонального проецирования. Проецирование точки на две плоскости проекций. Проецирование точки на три плоскости проекций.

Проецирование прямой. Точка на прямой. Определение длины отрезка прямой и углов наклона ее к плоскостям проекций. Следы прямой. Частные положения прямой относительно плоскостей проекций. Теорема о частном случае проецирования прямого угла. Взаимное положение прямых.

Проецирование плоскости. Точка и линия на плоскости. Углы наклона плоскости к плоскостям проекций. Следы плоскости. Построение плоских фигур. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей. Параллельность прямой и плоскости, двух плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей.

Способы преобразования чертежа. Способ замены плоскостей проекций. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, и вокруг оси, параллельной плоскости проекций.

Построение недостающих проекций точек, принадлежащих поверхности. Построение очерков заданных поверхностей. Построение недостающих проекций линий, принадлежащих поверхности.

Построение линии пересечения плоскости с поверхностью. Построение натурального вида сечения заданной геометрической фигуры с плоскостью. Построение линии пересечения поверхностей, одна из которых занимает проецирующее положение. Построение линии пересечения поверхностей общего положения. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка.

Пересечение линии и поверхности, когда одна из геометрических фигур – проецирующая. Пересечение прямой и поверхности, когда обе геометрические фигуры – общего положения.

Построение плоскости касательной к поверхности и нормали к поверхности в заданной на поверхности точке.

Сроки выполнения: выдача – 1-я неделя; прием –6-я неделя.

Выполняется построение плоской фигуры на формате А3.

Типовое задание. Построить равнобедренную трапецию ABCD с большим основанием BC на прямой MN при условии, что меньшее основание равно высоте и диагонали равны 120 мм. Определить углы наклона высоты и плоскости трапеции к плоскостям проекций.

2. Сколькими проекциями определяется положение точки в пространстве?

4. Каково на чертеже взаимное положение проекций точки: горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной?

5. Какими координатами определяется расстояние точки от плоскостей проекций?

6. Какими отрезками на чертеже определяются координаты точки?

7. Сформулируйте правило построения профильной проекции точки по заданным ее горизонтальной и фронтальной проекциям.

8. Какое положение относительно плоскостей проекций может занимать прямая в пространстве? Как называют такие прямые?

9. Что на чертеже характерно для проекций прямой общего положения, прямых уровня, проецирующих прямых?

10. Для каких прямых можно непосредственно на чертеже определить углы наклона их к плоскостям проекций в пространстве и длину отрезка этих прямых?

11. Сформулируйте правило определения длины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций.

12. Сформулируйте правило построения проекций отрезка заданной длины на прямой общего положения.

13. Каким может быть взаимное положение точки и прямой?

14. Сформулируйте инвариантное свойство ортогонального проецирования точки, принадлежащей прямой линии.

15. Что на чертеже служит признаком того, что в пространстве заданная точка принадлежит заданной прямой?

17. Каково максимальное и минимальное количество следов может иметь прямая в системе трех плоскостей проекций, двух плоскостей проекций? Что это за прямые?

18. Сформулируйте правило построения горизонтального следа прямой, фронтального следа прямой. 19. Каким может быть взаимное положение прямых в пространстве? 20. Сформулируйте инвариантные свойства ортогонального проецирования пересекающихся и параллельных прямых. 21. Что на чертеже служит признаком пересекающихся прямых, параллельных прямых? 22. Сформулируйте теорему о частном случае проецирования прямого угла. 23. Как на чертеже располагаются проекции взаимно перпендикулярных прямых, если одна из них горизонтальная (фронтальная) прямая? 24. Какие способы задания плоскости Вам известны?

26. Какая плоскость называется плоскостью общего положения, проецирующей, уровня?

27. Что на чертеже служит признаком проецирующей плоскости, плоскости уровня?

28. Как на чертеже располагаются следы плоскости общего положения, проецирующей плоскости, плоскости уровня?

29. Какой информативностью обладает чертеж проецирующей плоскости?

30. Сформулируйте признаки принадлежности точки и прямой - плоскости.

32. Что характерно для чертежа точки и прямой, расположенной в проецирующей плоскости?

33. Что характерно для чертежа прямой, принадлежащей плоскости общего положения, заданной следами?

34. Какие прямые называются главными линиями плоскости?

35. Каково взаимное положение линий наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций и горизонталей плоскости, линии наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций и фронталей плоскости?

36. Как на чертеже располагаются проекции линий уровня и наибольшего наклона, принадлежащих плоскости, заданной следами? Объяснить. Почему именно таким образом.

37. Какое положение относительно плоскостей проекций занимают линии уровня и наибольшего наклона проецирующих плоскостей?

38. Как определить угол наклона плоскости общего положения к горизонтальной (фронтальной, профильной) плоскости проекций?

39. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

40. Сколько прямых, параллельных заданной плоскости, можно провести через заданную точку? Что является множеством таких прямых?

41. Сколько плоскостей, параллельных заданной прямой, можно провести через заданную точку? Что является множеством таких плоскостей?

42. Сколько плоскостей, параллельных заданной прямой, можно провести через другую заданную прямую?

43. Что на чертеже служит признаком параллельности прямой и плоскости?

44. параллельны ли заданные прямая и плоскость, если проекции прямой параллельны одноименным следам плоскости? Ответ обосновать.

45. Что на чертеже служит признаком параллельности прямой и проецирующей плоскости, прямой и плоскости уровня?

46. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

47. Что на чертеже служит признаком перпендикулярности прямой и плоскости? Какую теорему начертательной геометрии при этом используют?

48. Как на чертеже отражается перпендикулярность прямой и плоскости, если плоскость задана следами? Объяснить почему.

49. Какое положение относительно плоскостей проекций занимают прямые, перпендикулярные проецирующим плоскостям и плоскостям уровня?

50. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

51. Что на чертеже служит признаком параллельности двух плоскостей?

52. Как на чертеже отражается параллельность плоскостей, заданных следами? Почему следы таких плоскостей параллельны?

53. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.

54. Как по чертежу установить, перпендикулярны ли заданные плоскости?

55. Являются ли признаком перпендикулярности плоскостей перпендикулярность их одноименных следов? Ответ обосновать.

56. Как на чертеже располагаются следы взаимно перпендикулярных плоскостей, если: одна из них – общего положения, а другая – горизонтально-проецирующая; обе они - горизонтально-проецирующие; одна из них - горизонтально-проецирующая, вторая – горизонтальная?

1. Домашнее задание №2. Часть 1. “Пространственная фигура”

Сроки выполнения: выдача – 5-я неделя; прием – 8-я неделя.

Выполняется построение плоской фигуры на формате А3.

Типовое задание. Построить куб ABCDA1B1C1D1 при условии, что вершина B лежит на прямой EF, а сторона AD – на прямой AK. Решить без преобразования чертежа.

1. Домашнее задание №2. Часть 2. Способы преобразования чертежа

Сроки выполнения: выдача – 7-я неделя; прием – 10-я неделя.

Решаются задачи на способы преобразования чертежа. Формат А3.

Определить, применяя способы преобразования чертежа:

Указание. При решении задач 1 и 2 применить способ замены плоскостей проекций; при решении задач 3 и 4 применить способ вращения вокруг прямой уровня.

1. Построить проекции равнобедренного треугольника ABC с вершиной A на прямой a и основанием BC на прямой b при условии, что основание треугольника BC в два раза больше его высоты AK. Решить без преобразования чертежа. Записать план решения задачи в пространстве.

2. Найти на прямой a точки, удаленные от точки A на 50 мм. Применить при решении задачи способ вращения вокруг фронтали.

1. С какой целью производится преобразование чертежа?

2. Каково положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций является выгодным для решения геометрических задач? Привести примеры.

3. В чем состоит суть способа вращения вокруг прямой линии?

4. Для решения каких задач используется способ вращения вокруг прямой уровня?

5. В чем заключается способ замены плоскостей проекций? В чем его главное отличие от способа вращения?

6. Какое положение относительно заданной системы плоскостей проекций занимает вновь вводимая плоскость проекции?

7. На каком расстоянии от новой оси проекций находится новая проекция точки и почему?

8. Сколько новых плоскостей проекций нужно ввести, чтобы в новой системе плоскостей проекций:

б) прямая общего положения заняла положение линии уровня,

в) прямая общего положения заняла проецирующее положение,

г) проецирующая плоскость заняла положение плоскости уровня,

д) плоскость общего положения заняла положение плоскости уровня?

9. В какой последовательности способом замены плоскостей проекций:

а) чертеж прямой общего положения преобразуется в чертеж проецирующей прямой?

б) чертеж плоскости общего положения преобразуется в чертеж плоскости уровня?

1. Домашнее задание №3. Часть 1. “Пересечение поверхностей”

Сроки выполнения: выдача – 10-я неделя; прием – 15-я неделя.

Решается задача на построение линий пересечения поверхностей на формате А3.

Типовое задание. Построить линии пересечения заданных поверхностей.

1. Домашнее задание №3. Часть 2. Пересечение прямой с поверхностью. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Сроки выполнения: выдача – 11-я неделя; прием – 15-я неделя.

Решается задача на пересечение прямой с поверхностью. Построение плоскости, касательной к поверхности, в заданной на поверхности точке. Построение нормали к поверхности. Объем работы – 1 формат А3.

1. Найти точки пересечения прямой АВ с торовой поверхностью.

2. Построить касательную плоскость и нормаль к поверхности в одной из точек пересечения.

1. Алгоритм решения задач на построение точек пересечения линии с поверхностью. Построить проекции точек пересечения прямой a с поверхностью конуса.

1. Какой способ образования поверхностей принят за основной в начертательной геометрии? В чем суть этого способа?

2. Что называется определителем поверхности, из каких частей он состоит?

3. Что означает «изобразить поверхность» и «задать поверхность»?

5. Сформулируйте признаки принадлежности точки и линии заданной поверхности.

6. Дайте определение плоскости, касательной к поверхности, и нормали к поверхности в заданной точке.

7. Какие поверхности называются линейчатыми и нелинейчатыми, развертываемыми и неразвертываемыми?

8. Сформулируйте общий алгоритм решения задач по определению точек пересечения линии и поверхности.

9. Какая поверхность обычно используется как вспомогательная при определении точек встречи прямой линии с поверхностью?

10. Почему при проецирующем положении линии или поверхности можно обойтись без введения вспомогательной поверхности для решения задач на пересечение?

11. Сформулируйте общий алгоритм решения задачи по определению линии пересечения двух поверхностей.

12. В каком случае в качестве вспомогательных поверхностей используются концентрические сферы, эксцентрические сферы?

14. По каким линиям и в каком случае плоскость пересекает:

15. Сколько вспомогательных плоскостей нужно ввести для построения линии пересечения двух заданных плоскостей?

1. Результирующая оценка знаний студента по дисциплине складывается на основе обобщения (интеграции) оценок отдельных этапов работы студента: результатов различных форм текущего и промежуточного контроля. 2. Все формы текущего и промежуточного контроля оцениваются исходя из 100-балльной суммарной шкалы.

3. Высший балл по модулю студенту проставляется при условии активного и творческого подхода к его изучению (личностные качества).

4. Оценки ниже минимальной границы, набранные в каждом модуле равносильны оценке «неудовлетворительно».

Темы дипломных работ по дифференциальным уравнениям
Вычисление объемов тел вращения онлайн