§ 3. Геометрическое изображение вещественных чисел 14

1. Изображение вещественных чисел точками на координатной прямой (14). 2. Некоторые наиболее употребительные числовые множества (16)

1. Числовые последовательности и арифметические действия над ними (20). 2. Ограниченные и неограниченные последовательности (21). 3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности (22). 4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (24)

1. Понятие сходящейся последовательности (25). 2. Основные свойства сходящихся последовательностей (26). 3. Предельный переход в неравенствах (29)

1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей (30). 2. Число е (32)

§ 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 35

1. Расстояние между двумя точками (35). 2. Площадь треугольника (36). 3. Деление отрезка в данном отношении (36)

1. Параллельный сдвиг осей (39). 2. Поворот осей координат (40)

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (43). 2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом (45). 3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (45). 4. Угол между двумя прямыми (46). 5. Условия параллельности н перпендикулярности двух прямых (46). 6. Общее уравнение прямой (47). 7. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой ев отрезках» (48). 8. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой (49)

1. Эллипс (52). 2. Гипербола (55). 3. Директрисы эллипса и гиперболы (59). 4. Парабола (62)

1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду (64). 2. Инвариантность выражения АС—В2. Классификация линий второго порядка (66)

1. Определение функций (69). 2. Способы задания функций (70). 3. Классификация функций (72)

1. Предел функций при х-х (73). 2. Предел функции при и при соs (76). 3. Предел функции при х, при и при (77)

1. Первый замечательный предел (79). 2. Второй замечательный предел (81)

§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 82

1. Бесконечно малые функции (82). 2. Бесконечно большие функции (83)

§ 6. Сравнение бесконечно малых н бесконечно больших функций 84

1. Определение непрерывности функции (87). 2. Арифметические действия над непрерывными функциями (88)

1. Непрерывность рациональных функций (89). 2. Непрерывность тригонометрических функций (89). 3. Непрерывность функции f(x)=х (90)

1. Определение и классификация точек разрыва функции (91), 2. Кусочно-непрерывные функции (91)

1. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции (92). 2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение (92). 3. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке (94). 4. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней (96). 5. Понятие равномерной непрерывности функции (97). 6. Теорема о равномерной непрерывности функции (98)

1. Определение обратной функции (101). 2. Теорема о непрерывности обратной функции (102)

1. Определение производной (104). 2. Геометрический смысл производной (105). 3. Физический смысл производной (106). 4. Правая и левая производные (107)

1. Понятие дифференцируемые функции в данной точке (107). 2. Связь между понятиями дифференцируемое™ и непрерывности (108)

1. Определение и геометрический смысл дифференциала (109). 2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала (110)

§ 4. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного 111

§ 5. Вычисление производных постоянной, степенной, тригонометрических функций и логарифмической функции 112

1. Производная постоянной функции (112). 2. Производная степенной функции (112). 3. Производные тригонометрических функций (113). 4. Производная логарифмической функции (114)

§ 7. Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций 115

1. Производная показательной функции (115). 2. Производные обратных тригонометрических функций (116)

§ 9. Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций 118

1. Понятие логарифмической производной функции (118). 2. Производная степенной функции с любым вещественным показателем (119). 3. Таблица производных простейших элементарных функций (120)

§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков 120

1. Понятие производной n-го порядка (120). 2. Формулы для л-х производных некоторых функций (121). 3. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций (122). 4. Дифференциалы высших порядков (123)

§ 11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование 125

1. Параметрическое задание функции (125). 2. Дифференцирование функции, заданной параметрически (126)

Глава 6. Применение дифференциального исчисления к исследованию бункций 127

§ 1. Основные теоремы дифференциального исчисления 127

§ 2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 131

1. Раскрытие неопределенности вида (131). 2. Раскрытие неопределенности вида (133). 3. Другие виды неопределенностей и их раскрытие (134)

1. Формула Тейлора (135). 2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена (137). 3. Формула Маклорена* (137). 4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена (138). 5. Использование формулы Маклорена для вычисления пределов (139). 6. Вычисление числа е (139)

§ 4. Исследование поведения функций и построение графиков 140

1. Признак монотонности функции (140). 2. Отыскание точек локального экстремума функции (140). 3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции (143). 4. Асимптоты графика функции (146). 5. Схема исследования графика функции (149)

1. Постановка задачи (151). 2. Интерполяционная формула Лагранжа (152). 3. Интерполяционная формула Ньютона (153). 4. Остаточный член интерполяции (155)

§ 6. Методы приближенного вычисления корней уравнений 156

1. Понятие первообразной функции (159). 2. Неопределенный интеграл (160)

1. Непосредственное интегрирование (163). 2. Метод подстановки (163). 3. Метод интегрирования по частям (165)

§ 6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций 172

1. Интеграл вида. 2. Интеграл вида (ах2 + bx + с)х (173). 3. Интеграл вида (siruc, cos)(175). 4. Интеграл вида (176)

§ 2. Условия существования определенного интеграла 179

1. Ограниченность интегрируемой функции (179). 2. Суммы Дарбу (180). 3. Свойства сумм Дарбу (181). 4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости (183)

§ 3. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций 184

1. Оценки интегралов (188). 2. Формула среднего значения (190)

§ 9. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле 196

§ 10.. Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла 197

1. Площадь криволинейной трапеции (197). 2. Площадь криволинейного сектора (200). 3. Длина дуги кривой (201). 4. Объем тела вращения (204). 5. Площадь поверхности вращения (205). 6. Работа переменной силы (207)

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (209). 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (211). 3. Признак сходимости несобственных интегралов (212). 4. Пример использования несобственного интеграла (214)

§ 12. Приближенное вычисление определенных интегралов 215

Часть вторая. Математический анализ функций нескольких нерешенных 222

Глава 9. Аналитическая геометрия в пространстве 222

§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве 222

1. Скалярные и векторные величины (223). 2. Определение вектора (223). 3. Проекция вектора на ось (224). 4. Проекции вектора на оси координат (225). 5. Направляющие косинусы вектора (225)

§ 3. Линейные операции иад векторами и их основные свойства 226

1. Сложение двух векторов (226). 2. Произведение вектора иа число (227). 3. Основные свойства линейных операций (227)

1. Определение и основные свойства скалярного произведения (231). 2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов (234)

1. Определение векторного произведения (235). 2. Основные свойства векторного произведения (236). 3. Выражение векторного произведения через координаты векторов (238)

1. Определение и геометрический смысл смешанного произведения (239). 2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов (240)

1. Общее уравнение плоскости (244). 2. Угол между двумя плоскостями (245). 3. Условие параллельности плоскостей (245). 4. Условие перпендикулярности плоскостей (246). 5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости (246)

1. Канонические уравнения прямой (248). 2. Параметрические уравнения прямой (250). 3. Угол между прямыми (250). 4. Условия параллельности прямых (251). 5. Условия перпендикулярности прямых (251). 6. Расстояние то точки до прямой (251).

1. Условия параллельности и перпендикулярности (251). 2. Угол между прямой н плоскостью (252)

1. Эллипсоид (252). 2. Однополостный гиперболоид (253). 3. Двуполостный гиперболоид (254). 4. Эллиптический параболоид (255). 5. Гиперболический параболоид (256). 6. Конус нторого порядка (258)

1. Определение определителя (263). 2. Свойства определителей (264)

§ 3. Исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 268

§ 4. Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы 272

Глава 11. Предел и непрерывность функций нескольких переменных 275

1. Вводные замечания (275). 2. Определение функции двух и более переменных (275)

§ 2. Геометрическое изображение функции двух переменных 277

1. Определение непрерывности функции двух переменных (281). 2. Основные свойства непрерывных функций двух переменных (282)

Глава 12. Частные производные и дифференцируемость функций нескользких переменных 284

1. Определение диффереицируемости (285). 2. Необходимые условия дифференцируемое™ (286). 3. Достаточные условия диффереицируемости (287)

1. Определение дифференциала (291). 2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала (292)

§ 6. Частные производные н дифференциалы высших порядков 296 1. Частные производные высших порядков (296). 2. Дифференциалы высших порядков (298)

1. Определение экстремума (301). 2. Необходимые условия экстремума (301). 3. Достаточные условия экстремума (302)

1. Определение и условия существования двойного интеграла (307). 2. Геометрический смысл двойного интеграла (308). 3. Свойства двойного интеграла (309).

1. Случай прямоугольной области (310). 2. Случай криволинейной области (312)

§ 4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов 317

1. Вычисление объема (317). 2. Вычисление площади (317). 3. Вычисление площади поверхности (319). 4. Вычисление массы пластинки (321). "5.. Вычисление координат центра масс пластинки (322). 6. Вычисление момента инерции пластинки (323)

1. Определение криволинейного интеграла первого рода (325). 2. Вычисление криволинейных интегралов первого рода (327). 3. Определение криволинейного интеграла второго рода (328). 4. Вычисление криволинейных интегралов второго рода (332). 5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода (333)

§ 7. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 336

§ 9. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода 341 1. Вычисление площади с помощью формулы Грина (344). 2. Работа силы (345)

1. Определение тройного интеграла (347). 2. Вычисление тройных интегралов (347). 3. Замена переменных в тройном интеграле (349). 4. Некоторые приложения тройных интегралов (352)

1. Определение поверхностного интеграла первого рода (353). 2. Вычисление поверхностных интегралов первого рода (355). 3. Определение поверхностного интеграла второго рода (356). 4. Вычисление поверхностных интегралов второго рода (359). 5. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода (361)

1. Скалярное поле (368). 2. Векторное поле (369). 3. Потенциальное поле (369). 4. Задача о потоке векторного поля (371). 5. Дивергенция (372). 6. Циркуляция. Ротор (374). 7. Оператор Гамильтона (376)

1. Основные определения (379). 2. Свойства сходящихся рядов (381) 3. Необходимое условие сходимости ряда (382)

1. Определение и общие замечания (391). 2. Интервал сходимости степенного ряда (392). 3. Свойства степенных рядов (395). 4. Разложение функций в степенные ряды (396)

1. Краткие сведения о комплексных числах (402). 2. Предел последовательности комплексных чисел (405). 3. Числовые ряды с комплексными членами (406). 4. Степенные ряды с комплексными членами (407). 5. Формулы Эйлера (408)

1. Тригонометрический ряд и его основные свойства (410). 2. Ряд Фурье (411). 3. Сходимость ряда Фурье (412). 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций (413). 5. Ряд Фурье с периодом 2/ (415)

Глава 15. Обыкновенные дифференциальные уравнения 416

1. Определение дифференциального уравнения первого порядка (417). 2. Решение уравнения. Задача Коши (418). 3. Общее и частное решения уравнения (418). 4. Геометрический смысл уравнения (420). 5. Уравнения с разделяющимися переменными (421). 6. Линейные уравнения (422). 7. Уравнения в полных дифференциалах (423). 8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера (425). 9. Некоторые применении дифференциальных уравнений первого порядка (428)

1. Основные понятия (431). 2. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка (432). 3. Дифференциальные уравнения высших порядков (434)

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 435

1. Основные понятия (435). 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (436). 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка (440)

§ 4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 443

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (443). 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (445)

§ 5. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений 449

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате и читать: