Понятия линейной зависимости и независимости системы векторов является очень важными при изучении алгебры векторов, так как на них базируются понятия размерности и базиса пространства. В этой статье мы дадим определения, рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости, получим алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость и подробно разберем решения примеров.

Рассмотрим набор из p n-мерных векторов, обозначим их следующим образом . Составим линейную комбинацию этих векторов и произвольных чисел (действительных или комплексных): . Отталкиваясь от определения операций над n -мерными векторами, а так же свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число, можно утверждать, что записанная линейная комбинация представляет собой некоторый n -мерный вектор , то есть, .

Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов .

Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой.

На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Так как система векторов линейно зависима, то равенство возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как и , то линейная комбинация векторов этой системы вида

представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Пусть вектор в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем

Следовательно, вектор линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:

если система векторов содержит векторы и , где – произвольное число, то она линейно зависима.

Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов .

Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:

1. когда хотя бы один из векторов системы является нулевым;
2. когда система векторов содержит два или более равных вектора;
3. когда система векторов содержит пропорциональные векторы ( и );
4. когда достаточно очевидно, что один из векторов системы линейно выражается через несколько других.

Как же быть в остальных случаях, которых большинство?

Напомним формулировку теоремы о ранге матрицы, которую мы приводили в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения.

Пусть r – ранг матрицы А порядка p на n , . Пусть М – базисный минор матрицы А . Все строки (все столбцы) матрицы А , которые не участвуют в образовании базисного минора М , линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы, порождающие базисный минор М .

А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.

Составим матрицу A , строками которой будут векторы исследуемой системы :

Что будет означать линейная независимость системы векторов ?

Из четвертого свойства линейной независимости системы векторов мы знаем, что ни один из векторов системы не выражается через остальные. Иными словами, ни одна строка матрицы A не будет линейно выражаться через другие строки, следовательно, линейная независимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)=p .

Что же будет означать линейная зависимость системы векторов ?

Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)<p .

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p>n система векторов будет линейно зависимой.

Замечание: при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.

1. Сначала следует убедиться, что число векторов исследуемой системы не превосходит числа координат векторов. Если же p>n , то можно делать вывод о линейной зависимости.
2. Проверяем, не содержит ли система векторов нулевого вектора, равных векторов, пропорциональных векторов ( и ). Если такие имеются, то также делается вывод о линейной зависимости системы.
3. Если два предыдущих пункта алгоритма не привели к результату, то составляем матрицу A , строками которой являются векторы исследуемой системы векторов и находим ее ранг. Если Rank(A)<p , то система векторов линейно зависима. Если Rank(A)=p , то система векторов линейно независима.

Дана система векторов . Исследуйте ее на линейную зависимость.

Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.

Исследуйте систему векторов на линейную зависимость.

Не сложно заметить, что координаты вектора c равны соответствующим координатам вектора , умноженным на 3 , то есть, . Поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Является ли система векторов линейно зависимой?

Эта система векторов является линейно зависимой, так как количество векторов в системе равно 4 , а сами векторы двумерные.

Является ли система векторов линейно независимой?

Примем эти векторы столбцами матрицы А и найдем ранг полученной матрицы методом Гаусса:

Следовательно, Rank(A)=2<3 , поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Составим матрицу, строками которой будут векторы данной системы:

Покажем, что ранг этой матрицы равен количеству векторов исходной системы, то есть, четырем.

В качестве минора первого порядка, отличного от нуля, возьмем элемент a₁₁=1 матрицы А . Окаймляющий его минор второго порядка также отличен от нуля.

Переходим к поиску окаймляющего минора третьего порядка:

Осталось найти минор четвертого порядка, отличный от нуля. Вычислим определитель

Прибавим к первому столбцу третий, далее разложим определитель по элементам первого столбца:

Таким образом, ранг матрицы А равен четырем что доказывает линейную независимость исходной системы векторов.

Мы ознакомились с понятиями и свойствами линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, получили метод исследования системы векторов на линейную зависимость, преобразовали его в алгоритм, и подробно разобрали решения характерных примеров.