• 1.1 Стандартная модель
• 1.2 Матричная модель
• 1.3 Замечания

• 4.1 Модуль и аргумент
• 4.2 Сопряжённые числа

• 5.1 Алгебраическая форма
• 5.2 Тригонометрическая и показательная формы
• 5.3 Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Ко́мпле́ксные [1] чи́сла, — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy , где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица [2] .

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z 2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z 2 + 1 .

Комплексное число z  можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y) . Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а мнимая единица — На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть − 1.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

Ошибочно определение числа i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению x 2 = − 1 , так как число ( − i) также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо i , не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

• Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
• Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
• Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
• Умножение
• Деление

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами <x,y> (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Пусть  — комплексное число, где и  — вещественные числа. Числа или и или называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ.  real, imaginary ) частями z .

• Если x = 0 , то z называется мнимым или чисто мнимым числом.
• Если y = 0 , то z является действительным (вещественным) числом.

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа z обозначается | z | и определяется выражением . Часто обозначается буквами или . Если z является вещественным числом, то | z | совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

1) , причём тогда и только тогда, когда ;; 2) (неравенство треугольника); 3) ; 4) .

Из третьего свойства следует , где . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем .

5) Для пары комплексных чисел z₁ и z₂ модуль их разности | z₁ − z₂ | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z , называется аргументом числа z и обозначается .

• Из этого определения следует, что ; ; .
• Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ , где k  — любое целое число.
• Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается [3] . Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: .

Если комплексное число z = x + iy , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z * ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

Обобщение: , где p(z)  — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

Запись комплексного числа z в виде x + iy , , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i 2 = − 1 ):

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент ( , ), то всякое комплексное число z , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

где  — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где r  — модуль, а  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -ой степени из ненулевого комплексного числа:

Отметим, что корни n -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». [4]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат.  imaginarius . Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл Коши.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
   • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
   • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
   • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
   • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
   В следующих источниках указан единственный вариант ударения (на второй слог) для чисел.
   • Орфографический словарь русского языка (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка (6-е издание, 2009), Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (2-е издание, 2004).
2. В теории электрических цепей, символ иногда заменяют на , чтобы не путать со стандартным обозначением электрического тока ( ).
3. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М .: Наука, 1967. — С. 14-15.
4. Клайн М. Математика. Утрата определённости - djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu. — М .: Мир, 1984. — С. 139.

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов - www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.pdf, МЦНМО, 2002
• Елисеев В. И. «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного» - www.maths.ru, Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М. НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308
• Понтрягин Л. Комплексные числа - kvant.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm, Квант, № 3, 1982.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М .: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. II. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2, 5-9221-0436-5 .

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 10.07.11 23:50:18